Comprender la demostración de un principio de continuidad para los potenciales

Question

Estoy leyendo el libro de Ransford Teoría del potencial en el plano complejo y me estoy peleando con la desigualdad de la última parte de esta prueba (de (a)).

Definir $p_ {\mu} (z):=\int \log|z-w| \, d \mu (w)$ .

He intentado escribirlo: \begin{eqnarray*} \liminf_{z \to \zeta_0} p_{\mu} (z) &\geq& \liminf_{\zeta \to \zeta_0, \zeta \in K}(p _{\mu} (\zeta)-\varepsilon \log 2- \int _{K \backslash \Delta (\zeta_0,r)} \log \left| \frac{\zeta-w}{z-w} \right | \, d \mu(w)) \\ &\geq&\liminf_{\zeta \to \zeta_0, \zeta \in K}p \mu (\zeta)-\varepsilon \log 2- \limsup_{\zeta \to \zeta_0, \zeta \in K}\int _{K \backslash \Delta (\zeta_0,r)} \log \left| \frac{\zeta-w}{z-w} \right | \, d \mu(w) \end{eqnarray*}

¿Es esto correcto? Y si lo es, ¿por qué la última parte es cero como se indica en la prueba?

Y otra cosa: ¿qué dice realmente este teorema, que los potenciales son continuos en la frontera del soporte?

Cualquier sugerencia sería realmente apreciada.

Answer 1

Lo que has afirmado no es correcto ya que sigues teniendo una dependencia de $z$ en el lado derecho de su desigualdad.

En primer lugar, fíjate que en realidad sólo tenemos que demostrar que el límite superior que hace el problema es no positivo, ya que lo estamos restando.

En segundo lugar, la forma $\zeta$ se define, es en realidad una función de $z$ . Así que si tomamos el límite en $z \rightarrow \zeta_0$ obtenemos como en la prueba $$ \liminf_{z \rightarrow \zeta_0} p_{\mu}(z) \geq \liminf_{z \rightarrow \zeta_0} \left(p_{\mu}(\zeta(z)) - \epsilon\log 2 - \int_{K\setminus \Delta} \log\left|\frac{\zeta(z) - w}{z-w}\right|\,d\mu(w) \right) \geq \\ \liminf_{z \rightarrow \zeta_0}p_{\mu}(\zeta(z)) + \liminf_{z \rightarrow \zeta_0} \left(- \int_{K\setminus \Delta(\zeta_0,r)} \log\left|\frac{\zeta(z) - w}{z-w}\right|\,d\mu(w) \right) - \epsilon\log 2 \geq \\ \liminf_{\zeta \rightarrow \zeta_0,\; \zeta \in K}p_{\mu}(\zeta) - \limsup_{z \rightarrow \zeta_0} \left( \int_{K\setminus \Delta(\zeta_0,r)} \log\left|\frac{\zeta(z) - w}{z-w}\right|\,d\mu(w) \right) - \epsilon\log 2. $$

Ahora vamos a tratar la integral. Recuerda la suposición - $\mu$ es una medida de Borel finita soportada en un conjunto compacto, por lo que $\mu(K) < \infty$ . Supongamos ahora que nos acercamos a $\zeta_0$ Así que $\delta(z) = |z-\zeta_0| \ll r$ , entonces por definición de $\zeta(z)$ , $|z-\zeta(z)| \leq |z-\zeta_0|$ por lo que obtenemos $$ \log\left|\frac{\zeta(z) - w}{z-w}\right| = \log\left|\frac{\zeta(z) -z +z - w}{z-w}\right| \leq \log\left( 1+\left|\frac{\zeta(z) -z}{z-w}\right|\right) \leq \\ \log\left( 1+\left|\frac{\delta(z)}{r-\delta(z)}\right|\right), $$ desde $w \in K\setminus\Delta(\zeta_0,r)$ . La estimación de la integral es ahora sencilla: $$ \limsup_{z \rightarrow \zeta_0} \int_{K\setminus \Delta(\zeta_0,r)} \log\left|\frac{\zeta(z) - w}{z-w}\right|\,d\mu(w) \leq \limsup_{z \rightarrow \zeta_0} \;\log\left( 1+\left|\frac{\delta(z)}{r-\delta(z)}\right|\right) \mu(K) = 0. $$

En cuanto a tu segunda pregunta, bueno, no estoy seguro.