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Es RRMM cuando R ¿no es necesariamente conmutativo?

Supongamos que R no es conmutativo. Supongo que en general RRMM no es cierto. Sin embargo, ¿hay casos en los que esto sigue siendo cierto? Por ejemplo, los anillos de grupo para un grupo no conmutativo G ?

3voto

Jeff Puntos 804

Si R es un anillo cualquiera y M es una izquierda R -entonces siempre hay un isomorfismo de grupos abelianos RRMM dado por rmrm y mm1 en la otra dirección.

De hecho, (r,m)rm es R -equilibrado, por lo que induce un homomorfismo RRMM de grupos abelianos. Claramente, mm1 es un homomorfismo en el otro sentido, y son inversos, básicamente porque todo tensor puro en RRM puede escribirse como rm=1rm=1rm .

Nunca se utiliza la conmutatividad. De hecho, es mejor aprender el producto tensorial de los bimódulos en primer lugar, que es un poco más general pero no más complicado. Si M es algo (R,S) -bimódulo y N es algo (S,T) -bimódulo, entonces MSN es un (R,T) -bimódulo. Se mantienen todas las propiedades habituales (como la asociatividad o los objetos neutros, como en el caso anterior). También se puede pensar en el producto tensorial sobre S como método para "integrar" el S -acción "lejos". Esto también se ajusta a la interpretación de coend del producto tensorial como MSN=sSMN. La acción de la izquierda de R en M sobrevive después de esta integración, también la acción correcta de T en N . Muchos resultados sobre módulos sobre anillos conmutativos son en realidad resultados sobre (R,S) -bimódulos o a veces (R,R) -bimódulos. (La parte formal de esta historia se generaliza incluso a los llamados profunctores .)

Aquí hay algo en lo que se utiliza la conmutatividad: Si M,N son R -módulos donde R es un anillo conmutativo (y pronto lamentarás que no te haya dicho si son módulos de izquierda o de derecha), entonces existe un isomorfismo de R -módulos MRNNRM cartografía mnnm . En general, cabe esperar que si M es algo (R,R) -bimódulo y N es algo (R,R) -bimódulo, y R es un anillo cualquiera, seguimos obteniendo un isomorfismo MRNNRM . Comprobemos si α:M×NNM, (m,n)nm es R -equilibrado: α(mr,n)=nmr y α(m,rn)=rnm pero no hay manera de identificar estas cosas. Sabemos que nrm=nrm pero mr tiene que distinguirse de rm en un general (R,R) -bimódulo. Este problema ya aparece para M=N=R . Por lo tanto, hay no isomorfismo de R -bimódulos RRRRRR cartografía abba , a menos que R ¡es conmutativo!

Hay una forma de corregir este fallo de simetría: si R es cualquier anillo, M es un derecho R -módulo y N es una izquierda R -entonces podemos ver M como una izquierda Rop -módulo y N como un derecho Rop -y tenemos un isomorfismo de grupos abelianos MRNNRopM .

1voto

Lijo Puntos 118

Si R tiene una unidad, esto sigue siendo cierto. R es un (R,R) -bimodulo, M es una izquierda R -módulo, por lo tanto RRM es un R -con la acción dada por r(xm)=rxm . Definir f:MRRM por f(m)=1m . Entonces f es un morfismo de R -módulos de la izquierda (obviamente es aditivo): f(rm)=1(rm)=(1r)m=rm=r(1m)=rf(m) Ahora comprobando que f es inyectiva y sobreyectiva es exactamente la misma prueba que en el caso conmutativo (o se puede definir el morfismo inverso rmrm y comprobar de nuevo que es un morfismo de R -módulos de la izquierda).

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