Supongamos que R no es conmutativo. Supongo que en general R⊗RM≅M no es cierto. Sin embargo, ¿hay casos en los que esto sigue siendo cierto? Por ejemplo, los anillos de grupo para un grupo no conmutativo G ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Si R es un anillo cualquiera y M es una izquierda R -entonces siempre hay un isomorfismo de grupos abelianos R⊗RM≅M dado por r⊗m↦rm y m↦m⊗1 en la otra dirección.
De hecho, (r,m)↦rm es R -equilibrado, por lo que induce un homomorfismo R⊗RM→M de grupos abelianos. Claramente, m↦m⊗1 es un homomorfismo en el otro sentido, y son inversos, básicamente porque todo tensor puro en R⊗RM puede escribirse como r⊗m=1r⊗m=1⊗rm .
Nunca se utiliza la conmutatividad. De hecho, es mejor aprender el producto tensorial de los bimódulos en primer lugar, que es un poco más general pero no más complicado. Si M es algo (R,S) -bimódulo y N es algo (S,T) -bimódulo, entonces M⊗SN es un (R,T) -bimódulo. Se mantienen todas las propiedades habituales (como la asociatividad o los objetos neutros, como en el caso anterior). También se puede pensar en el producto tensorial sobre S como método para "integrar" el S -acción "lejos". Esto también se ajusta a la interpretación de coend del producto tensorial como M⊗SN=∫s∈SM⊗N. La acción de la izquierda de R en M sobrevive después de esta integración, también la acción correcta de T en N . Muchos resultados sobre módulos sobre anillos conmutativos son en realidad resultados sobre (R,S) -bimódulos o a veces (R,R) -bimódulos. (La parte formal de esta historia se generaliza incluso a los llamados profunctores .)
Aquí hay algo en lo que se utiliza la conmutatividad: Si M,N son R -módulos donde R es un anillo conmutativo (y pronto lamentarás que no te haya dicho si son módulos de izquierda o de derecha), entonces existe un isomorfismo de R -módulos M⊗RN≅N⊗RM cartografía m⊗n↦n⊗m . En general, cabe esperar que si M es algo (R,R) -bimódulo y N es algo (R,R) -bimódulo, y R es un anillo cualquiera, seguimos obteniendo un isomorfismo M⊗RN≅N⊗RM . Comprobemos si α:M×N→N⊗M, (m,n)↦n⊗m es R -equilibrado: α(mr,n)=n⊗mr y α(m,rn)=rn⊗m pero no hay manera de identificar estas cosas. Sabemos que nr⊗m=n⊗rm pero mr tiene que distinguirse de rm en un general (R,R) -bimódulo. Este problema ya aparece para M=N=R . Por lo tanto, hay no isomorfismo de R -bimódulos R⊗RR≅R⊗RR cartografía a⊗b↦b⊗a , a menos que R ¡es conmutativo!
Hay una forma de corregir este fallo de simetría: si R es cualquier anillo, M es un derecho R -módulo y N es una izquierda R -entonces podemos ver M como una izquierda Rop -módulo y N como un derecho Rop -y tenemos un isomorfismo de grupos abelianos M⊗RN≅N⊗RopM .
Si R tiene una unidad, esto sigue siendo cierto. R es un (R,R) -bimodulo, M es una izquierda R -módulo, por lo tanto R⊗RM es un R -con la acción dada por r⋅(x⊗m)=rx⊗m . Definir f:M→R⊗RM por f(m)=1⊗m . Entonces f es un morfismo de R -módulos de la izquierda (obviamente es aditivo): f(r⋅m)=1⊗(rm)=(1⋅r)⊗m=r⊗m=r⋅(1⊗m)=r⋅f(m) Ahora comprobando que f es inyectiva y sobreyectiva es exactamente la misma prueba que en el caso conmutativo (o se puede definir el morfismo inverso r⊗m↦r⋅m y comprobar de nuevo que es un morfismo de R -módulos de la izquierda).