¿Por qué es necesario que el dominio sea finito para que se cumpla el Teorema de Egorov?

Question

Teorema de Egorov: Sea $(f_n)$ sea una secuencia de funciones medibles que convergen puntualmente a.e. a una función de valor real f sobre un conjunto medible $D$ de meausre finito. Entonces, dado $\epsilon>0$ existe un conjunto medible $E \subset D$ tal que $m(E)<\epsilon$ y tal que $(f_n)$ converge uniformemente a $f$ en $D$ \ $E$ .

¿Puede alguien darme un ejemplo de dónde falla esto si $m(D)= \infty$ ?

Mi libro dice que la convergencia casi uniforme siempre implica una convergencia puntual, ¿alguien puede ayudarme a entender por qué esto también es cierto?

Gracias.

Answer 1

$I_{(n,\infty )} \to 0$ casi en todas partes en $(0,\infty )$ con medida de Lebesgue. Si $f_n \to 0$ uniformemente en $E^{c}$ entonces $E^{c} \subset (0,N]$ para algunos $N$ que hace que $m(E)=\infty $ .

Answer 2

Considere $(0, +\infty)$ con la medida de Lebesgue $\lambda$ . Definir $f_n : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ como $f_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k!}$ .

Entonces $(f_n)_n$ converge puntualmente a la función exponencial $e^x = \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!} $ en $(0, +\infty)$ .

Supongamos que $f_n \to \exp$ uniformemente en un conjunto medible $E \subseteq (0, +\infty)$ . Entonces para $\varepsilon = 1$ existe $n \in \mathbb{N}$ tal que

$$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{x^k}{k!} = \left|e^x - \sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k!}\right| = \left|e^x - f_n(x)\right| < 1$$

para todos $x \in E$ . Desde $\frac{x^{n+1}}{n+1}\le \sum_{k=n+1}^\infty \frac{x^k}{k!}$ concluimos que $\frac{x^{n+1}}{n+1} < 1$ para todos $x \in E$ así que $E \subseteq \left(0, \sqrt[n+1]{(n+1)!}\right)$ .

Por lo tanto, $E^c$ siempre tiene una medida infinita por lo que no podemos elegir $E$ tal que $\lambda(E^c) < \varepsilon$ .