¿Puedo representar grupos geométricamente?

Question

Acabo de cursar álgebra abstracta para mi universidad y mi profesor me estaba dando una introducción a los grupos, pero como me gustan las definiciones geométricas o las formas de ver las cosas, me quedé pensando: "¿Cómo se representa un grupo geométricamente en un espacio?" ¿Hay alguna forma de representarlo?

Answer 1

Es una pregunta natural; la respuesta breve es (1) que sí, y (2) que puede ser una forma instructiva y poderosa de entender a determinados grupos. De hecho, esta perspectiva es tan natural que los estudiantes modernos a veces se sorprenden de que los grupos no se hayan inventado con este propósito. (Más bien, Galois los introdujo para estudiar lo que ahora se llama Grupos de Galois , es decir, los grupos de automorfismos de campos de división de polinomios, que es una empresa casi totalmente simbólica, más que geométrica).

Limitar nuestro alcance, para cualquier grupo $G$ podemos preguntarnos si existe algún subconjunto $X$ de $\mathbb{R}^n$ tal que el grupo de simetrías de $X$ (más precisamente, el grupo de isometrías de $\mathbb{R}^n$ que conservan $X$ como conjunto) es isomorfo a $G$ . Este es el caso de varios grupos conocidos:

• $S_2$ es el grupo de isometría de un segmento de línea
• $S_3$ , triángulo equilátero
• $S_4$ , tetraedro regular
• (más generalmente) el grupo simétrico $S_n$ , regular $n$ -simplemente que para concretar podemos tomar como el casco convexo de los puntos $(0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0)$ en $\mathbb{R}^n$ .
• el Klein $4$ -grupo $Z_2 \times Z_2$ , rectángulo (no cuadrado)
• $D_8$ , cuadrado
• $D_{10}$ , pentágono regular
• el grupo diédrico $D_{2n}$ , regular $n$ -gon

Podemos producir ejemplos más familiares imponiendo condiciones adicionales a las simetrías, por ejemplo, exigiendo que preserven la orientación del conjunto $X$ :

• $A_3 \cong Z_3$ Las simetrías orientadas del triángulo equilátero, o simplemente las simetrías de un triskelion
• $Z_4$ , un cuadrado (orientado)
• $Z_5$ un pentágono regular (orientado)
• el grupo cíclico $Z_n$ , una regularidad $n$ -gon (orientado)
• $A_4$ , un tetraedro regular (orientado)
• el grupo alterno $A_n$ , una regularidad $n$ -simplex (orientado)
• $S_4$ un cubo (u octaedro) (orientado)
• $A_5$ Un dodecaedro (o icosaedro) (orientado) (éste en particular quizá no sea tan fácil de ver inmediatamente: dado un dodecaedro, se pueden dibujar cinco cubos distinguidos en su interior, y cada simetría [orientada] del dodecaedro los permuta de una manera única y alterna, es decir, $A_5$ es el grupo alterno sobre el conjunto de estos cubos).

También se puede preguntar por los grupos con infinitos elementos:

• $SO(2) \cong {\Bbb S}^1$ es el grupo de simetrías orientadas del círculo ${\Bbb S}^1$ que también podemos considerar como el grupo de transformaciones lineales orientadas de $\mathbb{R}^2$ preservando el producto interior euclidiano
• el grupo ortogonal especial $SO(n)$ es el grupo de simetrías orientadas del $n$ -que también podemos considerar como el grupo de transformaciones lineales orientadas de $\mathbb{R}^{n + 1}$ preservando el producto interior euclidiano

Si ampliamos nuestro alcance para permitir geometrías más exóticas, podemos encontrar nuevas clases de ejemplos, por ejemplo, planos proyectivos sobre campos finitos:

• $GL(3, 2) \cong PGL(3, 2) = PSL(3, 2)$ el grupo de automorfismos de la Plano de Fano $\Bbb P(\Bbb F_2^3)$ es decir, el plano proyectivo sobre el campo finito $\Bbb F_2$ de dos elementos (este grupo tiene $168$ y después de $A_5$ es el segundo más pequeño grupo simple finito de orden no primo). No es obvio que este grupo sea "accidentalmente" isomorfo a $PSL(2, 7)$ el grupo de automorfismos de la línea proyectiva $\Bbb P (\Bbb F_7^2)$ sobre el campo $\Bbb F_7$ de siete elementos.

Por lo general, el grupos lineales especiales proyectivos $PSL(n, p^k)$ son desconocidas para un principiante, pero hay algunas excepciones que nos dan nuevas formas de ver grupos conocidos:

• $PSL(2, 2) \cong S_3$
• $PSL(2, 3) \cong A_4$
• $PSL(2, 4) \cong PSL(2, 5) \cong A_5$
• $PSL(2, 9) \cong A_6$
• $PSL(4, 2) \cong A_8$

Estas listas (que deben considerarse sólo como una recopilación de ejemplos y no son en absoluto exhaustivas) pueden ampliarse enormemente generalizando de diversas maneras lo que se entiende exactamente por geométrico.

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Aparte Seguramente esta respuesta ya es lo suficientemente larga, pero señalaré que lo contrario a su pregunta también es natural e importante: Para cualquier objeto geométrico $X$ podemos pedir el grupo $G$ de simetrías de $X$ . Esto también es una fuente profunda de ejemplos interesantes, pero mencionaré sólo algunas familias de ejemplos relacionados, los dos primeros con clasificaciones trazables y el tercero con una aplicación famosa:

• Si $X$ es un patrón en $\mathbb{R}^2$ que se repite "infinitamente, en una dirección", el grupo de simetría de $X$ es uno de los $7$ grupos frieze uno de ellos es $Z_{\infty} \cong {\Bbb Z}$ y el resto son variaciones de $\Bbb Z$ y un análogo infinito $D_{\infty} := \Bbb Z \rtimes Z_2$ de $D_n$ .
• Si $X$ es un patrón en $\mathbb{R}^2$ que se repite "infinitamente, en dos direcciones", se obtiene uno de los $17$ Grupos de papeles pintados . Los más sencillos son $\Bbb Z \times \Bbb Z$ , ${\Bbb Z} \times D_{\infty}$ y $D_{\infty} \times D_{\infty}$ .
• Hacer preguntas análogas sobre los patrones en $\mathbb{R}^3$ conduce al estudio de grupos espaciales de los cuales hay cientos, y algunos de los cuales son de importancia crítica en la química debido a su aparición en estructuras cristalinas regulares.

Answer 2

Puede que te resulte interesante una aplicación informática llamada Explorador de grupos .

La aplicación proporciona visualizaciones de 59 grupos. Los grupos adicionales están disponibles como descargas separadas.

Algunas capturas de pantalla: