¿Cómo determinar el entrelazamiento en la imagen de Heisenberg?

Question

Me parece que la definición de entrelazamiento se refiere explícitamente al estado del sistema en la imagen de Schrodinger, es decir, si un sistema $\psi\in\mathcal{\otimes_i\mathcal{H}_i}$ es tal que $\psi=\otimes_i\phi_i$ no es cierto $\forall\phi_i\in\mathcal{H}_i$ . Para determinar el entrelazamiento de un sistema en un momento dado, es necesario comprobar la validez de esta condición en ese momento. Por lo tanto, no basta con comprobar la validez de esta condición en $t=0$ para responder a la pregunta de si el sistema dado está enredado en el tiempo $t\neq 0$ . Así, para responder a la pregunta de si el sistema dado está enredado o no en la imagen de Heisenberg, necesitamos encontrar la condición equivalente en términos de los observables del sistema -- que son las entidades dependientes del tiempo en el formalismo. Sin embargo, no se me ocurre ninguna forma sencilla de traducir la definición habitual al lenguaje de los observables.

Instintivamente, creo que una posible aproximación a la respuesta podría ser utilizar el lenguaje de la entropía de enredo, pero no estoy seguro de cómo hacerlo. Por ejemplo, la entropía de von Neumann es una función sólo de la matriz de densidad y la matriz de densidad es independiente del tiempo en la imagen de Heisenberg, por lo que, tratada ingenuamente, en la imagen de Heisenberg, la entropía de von Neumann seguiría siendo cero a lo largo de la evolución del tiempo si fuera inicialmente cero. Pero está claro que un sistema puede enredarse durante la evolución del tiempo aunque haya empezado sin enredarse.

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Una forma cualitativa de describir el entrelazamiento en el lenguaje de los observables es decir que no es cierto que para todo $\mathcal{H}_i$ existe un conjunto completo de observables conmutables $\{O_{ij}\vert j = 1,...,(\mathrm{dim}(\mathcal{H}_i))^2\}$ que se diagonaliza. Como se puede apreciar, esto es lo que significa decir que existe al menos una $i$ para el que es cierto que no existe ningún vector de estado del subsistema $\mathcal{H}_i$ que puede describir el subsistema. Sin embargo,...

• No sé si este criterio difiere de la definición habitual en algunos aspectos sutiles.
• No estoy seguro de cómo formular cuantitativamente una medida de entrelazamiento en la imagen de Heisenberg, incluso si este criterio es correcto. ¿Cómo se acomoda el hecho de que, por ejemplo, la entropía de von Neumann puede cambiar con el tiempo?

Answer 1

En la imagen de Schrödinger, el entrelazamiento suele definirse con respecto a una factorización fija del espacio de Hilbert, digamos $H_A\otimes H_B$ . Los factores corresponden a subsistemas complementarios. La clave para adaptar el concepto de entrelazamiento a la imagen de Heisenberg es definir los subsistemas en términos de observables en su lugar, lo que podría ser más natural de todos modos.

Consideremos primero un tiempo fijo, por ejemplo $t=0$ para que la distinción entre las imágenes de Schrödinger y Heisenberg no importe. Para una factorización dada $H_A\otimes H_B$ , dejemos que $\Omega_A$ denota el conjunto de todos los operadores que actúan de forma no trivial sólo sobre $H_A$ . Se trata de un subconjunto de todos los operadores del espacio de Hilbert completo. Aquí está la clave: la factorización $H_A\otimes H_B$ está determinada de forma única por el subconjunto $\Omega_A$ . Por lo tanto, dado un estado genérico (matriz de densidad) $\rho$ en el espacio de Hilbert completo, y dado un subsistema definido por el conjunto $\Omega_A$ de observables, tenemos toda la información que necesitamos para definir el entrelazamiento (y para calcular la entropía del entrelazamiento) de la forma habitual.

• En la imagen de Schrödinger el estado $\rho_t$ lleva la dependencia del tiempo, y los observables son independientes del tiempo. En particular, el conjunto $\Omega_A$ de operadores que representan los observables para un subsistema determinado $A$ es independiente del tiempo. Este conjunto de observables define una factorización independiente del tiempo $H_A\otimes H_B$ del espacio de Hilbert. El enredo del estado $\rho_t$ se define con respecto a esta factorización de la manera habitual. El entrelazamiento depende del tiempo porque el estado $\rho_t$ depende del tiempo y la factorización no.

• En la imagen de Heisenberg el estado $\rho$ es independiente del tiempo, y los observables llevan la dependencia del tiempo. En particular, el conjunto $\Omega_{A,t}$ de operadores que representan los observables para un subsistema determinado $A$ depende del tiempo $t$ . Esto define un tiempo dependiente factorización $H_{A,t}\otimes H_{B,t}$ del espacio de Hilbert. El enredo del estado $\rho$ se define con respecto a esta factorización de la manera habitual. El entrelazamiento depende del tiempo porque la factorización depende del tiempo y del estado $\rho$ no lo hace.

En esta respuesta, he asumido que el conjunto de observables correspondiente a un subsistema dado es tal que define una factorización del espacio de Hilbert. Eso es suficiente para responder a la pregunta, porque la mayoría de las discusiones sobre el entrelazamiento en la imagen de Schrödinger también hacen esa suposición. Sin embargo, esa suposición no es necesaria. El concepto de entrelazamiento, o al menos la entropía del entrelazamiento, puede definirse con respecto a cualquier conjunto de observables en un espacio de Hilbert de dimensión finita. Los detalles se explican en el apéndice A de arXiv:1607.03901 Y como de todos modos se expresa en términos de observables, automáticamente funciona igual de bien en la imagen de Heisenberg.