Mostrando si $H,K$ son subgrupos de $G$ El $\varphi(hak)=a^{-1}hak$ es biyectiva.

Question

Este es mi problema... tengo que demostrar en última instancia que $\varphi(hak)=\varphi(hbk)\Rightarrow hak=hbk$ y estoy teniendo problemas... Me han dicho, tanto $H,K$ son subgrupos de $G$ y $a\in G$ . El objetivo es demostrar si $\varphi:HaK\rightarrow a^{-1}HaK, \varphi(hak)=a^{-1}hak$ es un mapa biyectivo. Así que empiezo con el argumento de uno a uno... $$\varphi(hak)=\varphi(hbk)$$ $$a^{-1}hak=b^{-1}hbk$$ $$hak=ab^{-1}hbk$$ Y estoy atascado... ¿qué puedo hacer para remediarlo?

Además, ¿el argumento surjetivo se muestra simplemente por la forma en que se definen los dos conjuntos como $HaK$ y $a^{-1}HaK$ ? ¿O tenemos que decir que $a\in a^{-1}HaK$ ...entonces $$a=a^{-1}ah^{-1}hak^{-1}k$$ y deducir de eso o algo así?

Answer 1

Esto no depende de $H$ y $K$ ser subgrupos en absoluto. Si se toma un subconjunto arbitrario $X$ de $G$ y $a \in G$ , entonces el mapa $X \to a^{-1} X$ definido por $x \mapsto a^{-1} x$ es una biyección. La inversa es, por supuesto, dada por $y \mapsto a y$ .