Resultados sobre las expectativas condicionales

Question

$\theta$ , $\phi$ son variables aleatorias integrables en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},P)$ y $\mathcal{G}$ es $\sigma$ -campo en $\Omega$ contenida en $\mathcal{F}$ . Ahora queremos demostrar $E(\theta\mid\mathcal{G})=E(\theta)$ si $\theta$ es independiente de $\mathcal{G}$ . La prueba es que, para cualquier $B\in \mathcal{G}$ por la independencia, $\theta$ y $1_{B}$ son independientes. Y, $$\int_{B}E(\theta)dP=E(\theta)E(1_{B})=E(\theta 1_{B})=\int_{B}\theta dP,$$ y la conclusión es la siguiente. Estoy muy confundido con la primera igualdad $\int_{B}E(\theta)dP=E(\theta)E(1_{B})$ . ¿Alguien puede explicarme esto? Gracias.

Answer 1

Para cada número real $a$ uno tiene: $\int\limits_Ba\mathrm dP=a\int\limits_B\mathrm dP=aP[B]$ . Además, $P[B]=E[I_B]$ . Aplíquelos a $a=E[\theta]$ .

Answer 2

$$\int_{B}E[\theta]dP=E[E[\theta]I_{B}]=E[I_{B}]E[\theta]$$ eso es todo.