¿Por qué es cierto que todo conjunto puede clasificarse como ordinario o extraordinario (no ordinario)?

Question

A continuación se presentan los enunciados de la Paradoja de Russell (en forma más o menos elaborada):

1. Un conjunto se llama ordinario si no se contiene a sí mismo como elemento.
2. Un conjunto se llama extraordinario si se contiene a sí mismo como elemento.
3. Consideremos el conjunto de todos los conjuntos ordinarios C .
4. C es ordinario o extraordinario .
5. Si C es ordinario entonces por definición de C (st.3) debe contenerse a sí misma y, por tanto, debe ser extraordinaria. Esto contradice la suposición y por lo tanto, C debería ser extraordinario.
6. Pero, si C es extraordinario, entonces se contiene a sí mismo. Esto contradice la propia definición de C por lo que debía contener únicamente conjuntos ordinarios. Por lo tanto, C no puede ser extraordinario.

De ahí la paradoja.

Pero.....

El problema está en la afirmación 4 arriba. Dice C es ordinario o no ordinario. Esto se deduce probablemente de la afirmación aparentemente obvia:

Cada conjunto es de un tipo o no .

Pero, aunque parezca una obviedad, ¿cuál es la prueba de que es cierto? De hecho, parece haber un contraejemplo, a saber, *EL CONJUNTO DE TODO: C . * Como declaraciones 5 y 6 juntos implican, es imposible clasificar C como ordinario o no ordinario (es decir, extraordinario).

¿No debería descartarse una hipótesis (en este caso, la afirmación en >blockquote< ), por muy obvia o axiomática que parezca, en cuanto se encuentre un contraejemplo?

Answer 1

La razón por la que la gente rechaza la definición de $C$ en lugar de la ley del medio excluido (LEM- se ha mencionado en los comentarios) es porque esta última parece mucho más intuitiva: o algo es verdadero, o es falso; mientras que la existencia de $C$ se basa en poder definir un "conjunto de todos los objetos que tienen propiedades $\phi$ ", que es mucho menos evidente.

Sin embargo, una mejor razón para descartar la existencia de $C$ en lugar de la LEM, es la siguiente: supongamos que para cada propiedad $\phi$ hay un conjunto de todas las cosas que satisfacen $\phi$ . Ahora dejemos que $P$ sea cualquier fórmula/propiedad que desee ( $0=1$ (por ejemplo, "soy la mujer maravilla", "puedo volar", o cualquier otra cosa que te guste). Considere la posibilidad de $C = \{ x : x\in x \to P\}$ . Entonces $C\in C \implies (C\in C \implies P)$ es cierto. Sin embargo, $(A\implies (A\implies B)) \implies (A\implies B)$ ¡es una tautología intuicionista, lo que significa que no depende del LEM ! Puedes intentar demostrarlo por ti mismo y verás que no hay nada más que la definición de $\implies$ y el modus ponens es necesario.

Por lo tanto, esto implica $C\in C \implies P$ que por definición de $C$ implica $C\in C$ que junto con $C\in C \implies P$ implica $P$ .

Por lo tanto, $P$ es cierto, y no he utilizado el LEM: aceptar la existencia de tal $C$ me permite demostrar cualquier cosa: por eso lo descartamos; así que en realidad la paradoja en cuestión ni siquiera necesita el LEM

Answer 2

Esta es una presentación muy impar de la Paradoja de Russell. La introducción de las nociones de conjuntos "ordinarios" y "extraordinarios" lleva en realidad a cierta confusión. Su afirmación 4 simplemente no se requiere como una suposición explícita para ser descargada.

Utilizando una variante de FOL, se suele demostrar por contradicción que $\neg \exists a: \forall b: [b\in a \iff b\notin b]$ de la siguiente manera:

1. $\exists a: \forall b: [b\in a \iff b\notin b]\space \space$ (Premisa)
2. $\forall b: [b\in C \iff b\notin b]\space \space$ (Especificación Existencial, 1)
3. $C\in C \iff C\notin C\space \space$ (Especificación universal, 2)
4. $\neg \exists a: \forall b: [b\in a \iff b\notin b] \space \space$ (Conclusión, 1, 3)

Por tanto, no es necesario rechazar la Ley del Medio Excluido (LEM) para resolver la Paradoja de Russell (RP).