Simetrías globales del espaciotiempo y covarianza general

Question

Soy autodidacta GR. Este es un post bastante largo pero necesitaba aclarar algunas cosas sobre el efecto de las transformaciones de coordenadas generales en las simetrías globales de la métrica. Se agradece cualquier comentario o idea.

Para ser concretos, consideremos que $g_{\mu\nu}$ representa un espaciotiempo axialmente simétrico, es decir, un agujero negro de Kerr. En coordenadas Boyer-Lindquist ( $t,\, r,\, \theta,\, \phi $ ) no depende de la métrica $t$ y $\phi$ (son coordenadas cíclicas):

$$ g_{\mu\nu} dx^{\mu}dx^{\nu}=-(1-\frac{2Mr}{r^2+a^2\cos^2{\theta}})\,dt^2-\frac{r^2+a^2\cos^2{\theta}}{r^2+2Mr +a^2} dr^2 +(r^2+a^2\cos^2{\theta})\, d\theta^2 \\ \,\,\,+ \left( r^2+a^2+ \frac{2Ma^2 r \sin^2{\theta}}{r^2+a^2\cos^2{\theta}}\right) \sin^2{\theta}\, d\phi^2 - \frac{2Ma r \sin^2{\theta}}{r^2+a^2\cos^2{\theta}} dt\, d\phi $$

En consecuencia la energía de la partícula $E_0$ y el momento angular $L_0$ se conservan. Supongamos que hago una transformación de coordenadas: $d \bar{x}^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\,\,\nu}\,dx^{\nu}$ donde, si no me equivoco, $\Lambda$ es una matriz, que es un elemento del grupo lineal general GL $\,(4,\,R)$ con un determinante no nulo. En las nuevas coordenadas la métrica puede no tener coordenadas cíclicas, un buen ejemplo sería la representación de la métrica anterior en coordenadas Kerr-Schild:

$$\begin{align} g_{\mu\nu} dx^{\mu}dx^{\nu}=&-d\bar{t}^2+dx^2+dy^2+dz^2 \\ &+ \frac{2Mr^3}{r^4+a^2z^2} \left[d\bar{t} + \frac{r(x \,dx+y \,dy)+a(x\,dy-y\,dx)}{r^2+a^2} + \frac{z\,dz}{r} \right]^2\\ &\text{where}\qquad r^4+ (x^2+y^2+z^2)\, r^2 -a^2 z^2=0 \end{align} $$

Ahora sólo hay una coordenada cíclica, $\bar{t}$ . Supongo que, en principio, podemos introducir nuevas coordenadas en las que ninguna de ellas parece ser cíclica en forma funcional de $g_{\mu\nu}\, dx^{\mu}dx^{\nu}$ . Supongamos que hago una transformación de coordenadas de este tipo. Mis preguntas son:

1. ¿La nueva métrica sigue teniendo simetrías globales, es decir, cantidades conservadas que corresponden a $E_0$ y $L_0$ ?

2. Si la respuesta a la primera pregunta es afirmativa, supongamos que le doy esta nueva métrica a alguien sin hablar de la transformación de coordenadas y le pregunto si hay simetrías. ¿Será capaz de encontrar simetrías encontrando órbitas cerradas en el flujo geodésico?

Para mí, la respuesta a las dos preguntas anteriores parecía ser afirmativa. Creo que la integrabilidad (en el sentido de Liouville) de la métrica no debería depender de la definición de las coordenadas. En otras palabras, debido a las simetrías globales, esperamos geodésicas acotadas alrededor del agujero negro. En las coordenadas antiguas podemos calcular fácilmente tales trayectorias cerradas y, según mi opinión, las geodésicas cerradas existen (los objetos giran alrededor del agujero negro) independientemente de cómo etiquetemos las coordenadas.

Pero no podía estar seguro de ello. Para explicar mi confusión permítanme escribir:

$$ \frac{d x^{\mu}}{ds^2} + \Gamma^{\mu}_{\nu \lambda} \frac{d x^{\nu}}{ds} \frac{d x^{\lambda}}{ds}=0 $$

que da el flujo geodésico. La existencia de las trayectorias acotadas aquí depende del número de ceros y polos del símbolo de Christoffel, y también de sus ubicaciones relativas. El caso es que se puede jugar con estos parámetros haciendo una transformación de coordenadas arbitraria pero invertible a la métrica y así cambiar el flujo. También, quizás algo relacionado con esto, se señaló aquí que una transformación de coordenadas, vista como un difeomorfismo, no siempre mapea geodésicas a geodésicas a menos que sea una isometría.

3. Entonces, ¿cuál es la forma correcta de pensar en esto? ¿Todas las transformaciones de coordenadas/difeomorfismos conservan las simetrías globales? ¿o un subgrupo de ellas?

Answer 1

Las simetrías continuas son los grupos de isometrías de un parámetro generados por Campos vectoriales matadores . Un campo vectorial de muerte $X$ se define por el requisito ( ${\cal L}_X$ es el estándar Derivada de la mentira a lo largo de $X$ ) $${\cal L}_X g =0\tag{1}$$ que equivale al famoso Ecuación de la muerte $$\nabla_a X_b + \nabla_b X_a =0\:.\tag{1'}$$

Estas ecuaciones son intrínsecas, por lo que son válidas en cualquier sistema de coordenadas.

Es posible demostrar que el espacio de los vectores de Killing es un espacio vectorial de dimensión finita y, por tanto, admite una base. La determinación de una base de campos de Killing fija todas las simetrías continuas de su espaciotiempo.

Si se arregla un campo de matanza $X$ y lo integras, tienes una congruencia de curvas a través del espaciotiempo. En una vecindad de cada punto se pueden completar estas curvas con otras $n-1$ curvas para construir un sistema de coordenadas $x^1, \ldots, x^n$ donde $X = \frac{\partial}{\partial x^1}$ . En ese sistema de coordenadas, (1) adopta una forma sencilla $$\frac{\partial g_{ab}}{\partial x^1}=0\:.$$ Por esta razón, las simetrías pueden verse mirando las componentes de la métrica en sistemas de coordenadas adecuados. Debería ser evidente que el cambio de coordenadas no conserva esta propiedad. Si se interpretan activamente los cambios de coordenadas, esto es lo mismo que decir que los difeomorfismos generalmente no preservan las simetrías.

Sin embargo, hay una razón fundamental por la que este procedimiento (tratar de representar las simetrías mediante una elección adecuada de coordenadas) no puede exhibir todas las simetrías continuas de la métrica simultáneamente.

Si se componen todas las simetrías continuas de todas las formas posibles, se obtiene un Grupo de Lie $S$ . Resulta que el álgebra de Lie $s$ de $S$ está representado por una base de campos de Killing: si $t_1,\ldots, t_k$ es una base de $s$ y se mantienen las relaciones de conmutación $$[t_i,t_j] = \sum_{k=1}^k c_{ij}^k t_k \tag{2}$$ el grupo de parámetros generado por el $t_j$ definen simetrías continuas generadas por los correspondientes campos de Killing $X_j$ . El mapa $t_j \to X_j$ se extiende linealmente a un Isomorfismo de álgebra de Lie porque resulta que (las constantes $c_{ij}^k $ son los mismos que antes) $$\{X_i,X_j\} = \sum_{k=1}^k c_{ij}^k X_k \tag{3}\:,$$ donde $\{\cdot, \cdot \}$ es el conmutador de Lie estándar de los campos vectoriales.

Aquí viene el problema de las coordenadas. Salvo casos esencialmente triviales, $S$ no es abeliana y, por tanto, algunas de las constantes $c_{ij}^k $ no se desvanecen. Si $X_i$ y $X_j$ fueran vectores tangentes a las coordenadas correspondientes de un sistema de coordenadas, tendríamos $$\{X_i,X_j\} = \left\{\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial x^j}\right\} =0 \tag{3'}\:$$ en su lugar. Así, el uso de coordenadas no es tan útil y los procedimientos directos para determinar una base de soluciones de (1) o (1') son seguramente más eficaces.

Como ejemplo trivial del problema, pensemos en la métrica plana euclidiana estándar de $\mathbb R^3$ . Admite el grupo completo de rotaciones alrededor del origen como (sub)grupo de simetría. Sin embargo, es imposible construir un sistema de coordenadas correspondiente a la acción de las rotaciones alrededor de los tres ejes simultáneamente. A lo sumo un coordenada puede ser la línea integral de la acción de las rotaciones alrededor de un eje (ocurre en coordenadas esféricas y $\phi$ es la coordenada que describe las rotaciones alrededor del $z$ y la componente de la métrica en coordenadas esféricas no dependen de $\phi$ ). La razón es que el grupo de rotaciones $SO(3)$ no es abeliana. A la inversa, las coordenadas cartesianas ortonormales estándar representan simultáneamente la acción de los tres subgrupos de traslaciones: Esto no es un problema ya que las traslaciones de $\mathbb R^3$ forman un grupo abeliano.

Answer 2

Pues bien, las coordenadas no existen en la física: son sólo etiquetas que necesitamos para poder hablar sobre la física. En este caso, una transformación de coordenadas no puede cambiar el sistema físico que describe: sólo puede describir el sistema físico más o menos bien. Un buen ejemplo de "menos bien" es cuando las coordenadas se vuelven degeneradas y se obtiene una singularidad artificial: el famoso ejemplo de esto es la solución de Schwarzschild.

Por lo tanto, cualquier simetría física del sistema no debe verse afectada por la elección de las coordenadas. Así que la respuesta a tu primera pregunta es que sí, la métrica seguirá teniendo las simetrías que tenía, porque estas simetrías son propiedades de la física, no del sistema de coordenadas.

Sin embargo, estas simetrías pueden ser profundamente opacas, ya que realmente no hay límite a la mala elección de coordenadas que puedo hacer: mientras $\Lambda^\mu{}_\nu$ es nonsingular puedo elegir realmente cualquier adecuadamente suave $\Lambda^\mu{}_\nu(x^\xi)$ que me gusta (aquí estoy usando $x^\xi$ para significar "todas las coordenadas", así que realmente $\left\{x^\xi\right\}$ (no es un índice sobre el que se pueda sumar).

Así que, en general, si te doy una métrica expresada en algún sistema de coordenadas, ni siquiera puedes saber si es el mismo sistema físico que otra métrica. Esto es literalmente así: no hay ningún algoritmo que te diga si dos métricas describen el mismo sistema físico.

Así que la respuesta a tu segunda pregunta, creo que es no: puedo expresar una métrica de una manera tan horrible que es imposible saber qué está pasando.

Sin embargo, las cosas no son tan malas en la práctica. En particular, nunca vas a elegir una transformación horrible para que las cosas sean oscuras. E incluso si son oscuras, hay un montón de trucos heurísticos que puedes utilizar para tratar de trabajar la métrica en una forma en la que las simetrías sean evidentes. Hace mucho tiempo que no sé lo suficiente sobre esto, pero creo que el tipo de cosas que quieres buscar son la clasificación de Petrov, y también cualquier cosa que puedas encontrar sobre la clasificación de soluciones exactas (no puedo encontrar nada que no esté en papel o detrás de un muro de pago, pero hay un montón de documentos y libros sobre este tema).