Deje $\mathcal{A}_n,\,n\in\mathbb{N}$ ser una secuencia de subconjuntos de, digamos, $\mathbb{R}$. Deje $\limsup_{n\rightarrow\infty} \mathcal{A}_n = \{x:x\in\mathcal{A}_n\mbox{ for infinitely many } n\}$, e $\liminf_{n\rightarrow\infty} \mathcal{A}_n = \{x:x\in\mathcal{A}_n\mbox{ for all but finitely many } n\}$ como de costumbre. Decimos que la secuencia de $\mathcal{A}_n,\,n\in\mathbb{N}$ tiene un límite si $\limsup_{n\rightarrow\infty} \mathcal{A}_n = \liminf_{n\rightarrow\infty} \mathcal{A}_n$ y escribir $\lim_{n\rightarrow\infty} \mathcal{A}_n$ para el límite. Mi pregunta es, dada una secuencia arbitraria $\mathcal{A}_n,\,n\in\mathbb{N}$, hay una larga $\mathcal{A}_{n_k},\,k\in\mathbb{N}$ tal que $\lim_{k\rightarrow\infty} \mathcal{A}_{n_k}$ existe? Esto debe ser bien conocido, pero no he podido encontrar una referencia.
Respuestas
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El más pequeño de la cardinalidad de un conjunto $X$, que algunos secuencia de subconjuntos de a $X$ no tiene convergente larga se llama la división de número y usualmente denotado por $\mathfrak s$. Es uno de los cardenal características de la continuidad que establece teóricos como yo estudio. Como se indica en Erick Wong respuesta y sus comentarios, siempre tenemos $\aleph_0<\mathfrak s\leq 2^{\aleph_0}$. Si la hipótesis continua se mantiene, el único cardenal en ese rango es $\aleph_1$, lo $\mathfrak s=\aleph_1$. Pero si la hipótesis continua falla, así que hay dos o más de los cardenales en ese rango, luego de la habitual de los axiomas de la teoría de conjuntos (Zermelo-Fraenkel axiomas, incluyendo la elección) no determinan el valor de $\mathfrak s$. En particular, el de Martin Axioma implica que $\mathfrak s=2^{\aleph_0}$, así que esto es consistente con $2^{\aleph_0}$ siendo tan grande como quieras. Por otro lado, es coherente que $\mathfrak s=\aleph_1$ incluso si la hipótesis continua falla.
Una buena oferta que se conoce acerca de la relación entre el $\mathfrak s$ y otros el cardenal características de la secuencia. Por ejemplo, cualquier conjunto de reales de cardinalidad $<\mathfrak s$ es de primera categoría de Baire y tiene medida de Lebesgue cero.
Creo que esto es falso. Establecer una correspondencia entre todas las infinitas subsecuencias de $\mathbb N$$\mathbb R$, decir $\Phi: \mathbb R \to 2^{\mathbb N}$. Ahora, definir $\mathcal A_n := \{ r \in \mathbb R: n \in \Phi(r) \text{ and $n$ has odd index in } \Phi(r)\} $. Aquí por "índice" me refiero a la posición de $n$ al $\Phi(r)$ se enumeran en orden creciente, o en otras palabras, la cardinalidad de a $[1,n] \cap \Phi(r)$.
No importa lo larga de $\{\mathcal A_n\}$ uno elige, no se corresponde con algunos $\Phi(r)$, y dentro de esa larga $r$ alterna entre incluidos y excluidos, por lo que a la larga no converge en $r$.
Por otro lado, debe ser cierto para los subconjuntos de a $\mathbb N$ por un argumento similar al infinito teorema de Ramsey. Ya sea infinitamente muchos $\mathcal A_n$ contienen $1$ o infinitamente muchos excluir $1$, por lo que uno puede inductivamente pasar a una larga donde $\{\mathcal A_n\}$ converge en $1$, luego de un subsubsequence que converge en $2$, etc., y finalmente tomar una diagonal de esta secuencia de secuencias.
