Prueba de la desigualdad $\frac{\log (1)}{1!}+\frac{\log ^2(2)}{2!}+\frac{\log^3(3)}{3!}+\cdots> \frac{\pi }{4}$

Question

¿Cómo se demuestra esta desigualdad? $$\frac{\log (1)}{1!}+\frac{\log ^2(2)}{2!}+\frac{\log^3(3)}{3!}+\cdots> \frac{\pi }{4}$$

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El lado izquierdo se parece vagamente a la serie de $\exp(x)$ Los términos a partir de $n$ contribuyen al menos tanto como los términos correspondientes de la serie para $\exp(\log n)$ . Pero para los términos anteriores, la desigualdad va en sentido contrario.

Answer 1

Como han dicho @user2345215 y @Mr.G en los comentarios, responder a la pregunta tal y como está planteada es bastante sencillo. $$ \frac{\log (1)}{1!}+\frac{\log ^2(2)}{2!}+\frac{\log^3(3)}{3!}+\cdots > \sum_{n=2}^{11} \frac{\log^n(n)}{n!}>0.7855> \frac{\pi }{4} $$