Demostrar que $T$ tiene un vector cíclico si sus polinomios mínimo y característico son iguales

Question

Dejemos que $k$ sea un campo algebraicamente cerrado y $V$ sea una dimensión finita $k$ -espacio vectorial de dimensión $n$ .

Dejemos que $T:V \rightarrow V$ ser un $k$ -endomorfismo lineal de $V$ . Un vector $v \in V$ se llama vector cíclico para $T$ si el conjunto de vectores $\{T^nv: n \in \mathbb{Z}, n \geqslant 0\}$ span $V$ .

1 Demuestre que si $v \in V$ es un vector cíclico, entonces $\{v, Tv,\cdots, T^{n-1}v\}$ forman una base para $V$ .

2 Si $T$ admite un vector cíclico, y $A:V\rightarrow V$ es un mapa lineal que conmuta con $T$ Demuestre que existe un polinomio $P(x) \in k[x]$ tal que $A=P(T)$ .

3 Demuestre que un vector cíclico para $T$ existe si y sólo si el polinomio mínimo de $T$ es igual al polinomio característico de $T$ .

Answer 1

Pistas:

1. Por el teorema de Cayley-Hamilton, $T^kv$ se encuentra en el tramo de $\{v,Tv,\dots,T^{n-1}v\}$ para cualquier $k \geq n$

2. Por 1, existe un polinomio $T$ de grado $n-1$ tal que $$ Av = p(T)v $$ A continuación, observe que $AT^kv = T^k Av = T^kp(T)v = p(T)T^k v$ para $k = 0,1,\dots,n-1$ .

3. Si el polinomio mínimo es de grado inferior, entonces $T^{n-1}$ es una combinación lineal de $\{I,T,\dots,T^{n-2}\}$ por lo que no puede haber ningún vector cíclico. La implicación contraria es complicada; basta con considerar la forma de Jordan o la forma canónica racional de $T$ pero eso puede ser excesivo.