pregunta de continuidad

Question

Consideremos la función simple $$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{if $x \in [0,1]$}\\ 10 & \mbox{if $x \in \mathbb{Q} \cap [1,2]$}\\ -10 & \mbox{if $x \in \mathbb{Q^c} \cap [1,2]$}\\ 2 & \mbox{if $x \in [2,3]$}\ \end{array} \right.$$

¿es correcto decir que f es continua en $[0,1] \cup [2,3]$ ?

Answer 1

Pista: Su función no está bien definida en 1 y 2, ya que esos $x$ cada uno de los valores cumple con dos de sus criterios. Una vez arreglado esto, digamos que haciendo el intervalo en la segunda línea $(1,2)$ ¿Qué pasa cerca de la 1 y la 2?

Answer 2

Esta función no está bien definida en algunos puntos. Por ejemplo $f(1) = 1$ desde $1 \in [0,1]$ pero también $f(1) = 10$ porque $1 \in \mathbb{Q} \cap [1,2]$ también (de forma similar para $x=2$ ).

Una vez corregido esto, tenga en cuenta que si define $f(1)=1$ , entonces arbitrariamente cerca de $1$ puedes encontrar números que sean racionales (o irracionales) y mayores que uno. Aquí la función evalúa a $10$ (o $-10$ ), por lo que no será continua en $1$ (ni en $2$ por la misma razón).

Answer 3

(Supongamos que se corrige la definición de la función para que $f(1)=1$ , $f(2)=2$ .)

$f$ es una función sobre $[1,3]$ . Los puntos donde $f$ es continua son $[0,1) \cup (2,3]$ . En ese sentido, no se diría que $f$ es continua en $[0,1] \cup [2,3]$ .

Sin embargo, Lo que sí es cierto es que el restricción $f|_{[0,1] \cup [2,3]}$ de $f$ a $[0,1] \cup [2,3]$ es una función continua en todo su dominio. Pero estrictamente hablando se trata de una función diferente de $f$ .

Answer 4

Como otros han señalado, parece razonable suponer que usted quiso definir $f$ así: $$f = \chi_{[0,1]} + 10\chi_{\mathbb{Q}\cap (1,2)} -10\chi_{(1,2)\setminus\mathbb{Q}} +2\chi_{[2,3]}, $$ donde $\chi_A$ es el función de indicador en $A$ .

Y es cierto que $f|_{[0,1]\cup [2,3]}$ es continua ya que es constante en cada uno de sus dominios componentes conectados .