Supongamos que G es un grupo topológico metrisable. ¿Debe admitir al menos una métrica compatible invariante a la derecha o a la izquierda?

Question

Estoy leyendo un artículo que dice que tiene una frase 'Si G es metrizable, con métrica compatible invariante a la derecha d_r...'

Así que estoy tratando de calibrar cuán generales son las afirmaciones posteriores, para lo cual sería útil saber qué tipos de grupos admiten una métrica compatible invariante derecha. ¿Quizás se pueda construir una para todos?

Answer 1

Es un teorema clásico (debido a Birkhoff, IIRC) que un grupo topológico metrisable $G$ (fácilmente reconocible, porque esto equivale a tener una base local contable en $e$ , además de ser $T_0$ o mejor) tiene una métrica invariante a la derecha, compatible con la topología, y también una métrica invariante a la izquierda, posiblemente diferente. Algunos grupos que son metrisables no tienen una métrica invariante de dos lados, según creo. Los libros más avanzados de teoría topológica de grupos darán la construcción (y a veces también un ejemplo de esto último). Para los grupos no $T_0$ obtenemos en cambio una pseudometría invariante (pero esto no se estudia mucho).