Pregunta simple sobre los eventos independientes

Question

Estoy leyendo a DeGroot y dice:

A y B son independientes si y sólo si Pr(A|B) = Pr(A) y Pr(B|A) = Pr(B).

Mi pregunta es:

• ¿Es necesario que se cumplan ambas ecuaciones para que los dos sucesos sean independientes o sólo es necesario que se cumpla una?
• Si ambas ecuaciones tienen que cumplirse, ¿puede alguien dar un ejemplo en el que sólo se cumpla una y se incumpla la otra?

Answer 1

Dos eventos $A$ y $B$ son independientes (se observa $A \perp B$ ) si $P( A \cap B) = P(A)P(B)$ , esa es la definición de independencia para dos eventos.

La definición de $P(A \mid B)$ es $$ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

Entonces

\begin{align*} A \perp B &\iff P(A \cap B) = P(A)P(B) \\ &\iff \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) P(B)}{P(B)} = P(A) \\ &\iff \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A) P(B)}{P(A)} = P(B) \\ &\iff P(A \mid B) = P(A) \\ &\iff P(B \mid A) = P(B) \end{align*}

Por lo tanto, si $P(A \mid B) = P(A)$ entonces $A$ y $B$ son independientes y también tendrá $P(B \mid A) = P(B)$ .
Para responder a tu primera pregunta: si uno aguanta el otro también.

Esto se puede encontrar en Wikipedia aquí .