Funciones y determinantes

Question

Supongamos que $f : W \rightarrow \mathbb R^n$ es una cartografía continuamente diferenciable definida en una neo-barrera abierta $W \in \mathbb R^n$ del origen tal que $f(0)=0$ y $f'(0)=I$ la matriz de identidad.

¿Es posible elegir siempre una célula cerrada en $W$ tal que $det{f'(x)} \ne 0$ para todos $x$ en la célula cerrada?

Answer 1

$f \in \mathscr{C}'$ significa que $x \rightarrow f'(x)$ es un mapeo continuo desde $W$ a $\mathscr{L}\left ( \Bbb{R}^n,\Bbb{R}^n \right )$ . En particular:

$$\left (\forall \varepsilon >0 \right )\left ( \exists \delta >0\right )\left (\left |x-y \right |<\delta \Rightarrow \left \| f'(0)-f'(y)\right \|<\varepsilon \right ), \ y \in W$$

( $\left \| \ . \right \|$ siendo la norma matricial inducida por la norma euclidiana)

Recordemos el siguiente resultado:

Dejemos que $\Omega$ sea el conjunto de todos los operadores invertibles en $\mathscr{L}\left ( \Bbb{R}^n,\Bbb{R}^n \right )$ . Supongamos que $A \in \Omega$ y $B \in \mathscr{L}\left ( \Bbb{R}^n,\Bbb{R}^n \right )$ avec $\left \| A^{-1} \right \| \left \| A-B \right \|<1$ entonces $B \in \Omega$ .

Toma $\delta >0$ tal que la vecindad de $0$ de radio $\delta$ está contenida en $W$ ( $W$ es abierto) y tal que $\left \| I - f'(y) \right \|<1/2$ para todo y con $\left | y \right |<\delta$

Desde $f'(0)=I$ tenemos $\left \| \left (f'(0) \right )^{-1} \right \|=\left \| I \right \|=1$ . Por lo tanto:

$$\left \| \left (f'(0) \right )^{-1} \right \|\left \| I-f'(y) \right \|<1/2<1 \ , \ \left | y \right | < \delta $$

De ello se desprende que $f'(y)$ es invertible para todo $y$ tal que $\left |y\right |<\delta$ y por lo tanto $\det f'(y) \neq 0$ .

Sólo queda elegir alguna célula cerrada que esté contenida en la vecindad del radio $\delta$ de $0$ . Esto es posible ya que dicho barrio está abierto, te dejo los detalles.

EDIT: Recordemos que dada una matriz $A$ su determinante es un polinomio de sus entradas y, por tanto, es continuo en función de las entradas de $A$ (también se puede demostrar la continuidad por inducción ya que el determinante se puede calcular a partir de los menores). Por lo tanto, si se considera $\det f'(x)$ como la composición $x \rightarrow f'(x) \rightarrow \det f'(x)$ esta es una función $\Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}$ y es continua ya que la composición de funciones continuas es continua. Si llamamos a esta función digamos $g(x)=\det(f'(x))$ que tenemos:

$g(0)=1$ y por continuidad $\exists \delta >0 \ , \ |x|<\delta $ implica $\left |1-g(x) \right |<1/2$

Por lo tanto, $g(x)>1/2$ para $|x|<\delta$ . En particular, $g(x)\neq 0$ para tal $x$ .