¿Es Mega Millions un valor esperado positivo?

Question

Dado el rápido aumento de la Mega Millones jackpot en los Estados Unidos (ahora se anuncia en \$640 million and equivalent to a "cash" prize of about \$ 448 millones de euros), me preguntaba si alguna vez hubo un punto en el que la lotería se convirtió en un valor esperado (EV) positivo y, en caso afirmativo, cuál es ese punto o rango.

Además, a un amigo y a mí se nos ocurrieron dos formas diferentes de ver el problema, y tengo curiosidad por saber si ambas son válidas.

En primer lugar, es sencillo calcular el valor esperado de los premios "fijos". Los cinco primeros números se seleccionan de una peña de 56, la última bola "mega" de una peña de 46. (Ignoremos los impuestos en todos nuestros cálculos... uno puede ajustar más tarde el tipo impositivo propio, que variará según el estado). El valor esperado de todos estos premios fijos es de 0,183 $.

Por lo tanto, entonces usted está pagando \$0.817 for the jackpot prize. My plan was then to calculate the expected number of winners of the jackpot (multiple winners split the prize) to get an expected jackpot amount and multiply by the probability of selecting the winning numbers (given by $ \bina{56}{5} * 46 = 1 \texto{en} 175.711.536 $). The number of tickets sold can be easily estimated since \$ 0,32 de cada billete se suman al premio, así que:

( Bote de dinero actual - Anterior Jackpot en metálico ) / 0,32 = Entradas vendidas $(448 - 252) / 0.32 = 612.5$ millones de entradas vendidas (¡!).

(Los premios en metálico son inferiores al bote anunciado. Actualmente, son aproximadamente el 70% del bote anunciado). Obviamente, se espera que haya varios ganadores, pero no puedo averiguar cómo obtener una estimación precisa, y varias fuentes de la web parecen obtener cifras diferentes.

Metodología alternativa: La metodología de mi amigo, que es mucho más sencilla, es decir que el 50% de las ventas de este sorteo se pagarán en premios ( \$0.18 to fixed prizes and \$ 0,32 al bote). A esto hay que añadir el importe del bote acumulado ( \$250 million cash prize from the unwon previous jackpot) that will also be paid out. So, your expected value is $\$250$ millones / 612,5 millones de entradas vendidas = \$0.40 from the previous drawing + \$ 0,50 de este sorteo = \$0.90 total expected value for each \$ 1 billete comprado (antes de impuestos). ¿Es este un enfoque válido o le falta algo? Es mucho más sencillo que todo lo que he encontrado buscando en la web sobre esto.

Añadido: Después de considerar la respuesta de abajo, esta es la razón por la que no creo que la metodología de mi amigo pueda ser correcta: descuida la probabilidad de que nadie gane. Por ejemplo, si un $1$ el valor esperado de ese billete no sería de 250 millones de dólares + 0,50, ya que hay que tener en cuenta la probabilidad de que el bote no se pague. Por lo tanto, pregunta adicional: ¿qué es esta probabilidad y cómo la encontramos? (Obviamente, es bastante pequeña cuando $612.5$ millones de boletos se venden y las probabilidades de que cada uno gane son $1:175.7$ millón). ¿Nos permitiría esto salvar esta metodología?

Entonces, ¿hay un punto en el que la lotería será un EV positivo? Y, ¿cuál es el EV esta semana, y la metodología para calcularlo?

Answer 1

Hice un trabajo bastante análisis exhaustivo de esta cuestión el año pasado. La respuesta corta es que, al modelar la relación entre los botes anteriores y las ventas de boletos, encontramos que las ventas de boletos crecen de forma superlineal con el tamaño del bote. Al final, la expectativa positiva de un bote mayor se ve superada por la expectativa negativa de los empates. En el caso de MegaMillones, esto ocurre antes de que un boleto llegue a ser EV+.

Answer 2

Un interesante experimento mental es si sería una buena inversión para una persona rica comprar todos los números posibles para \$175,711,536. This person is then guaranteed to win! Then you consider the resulting size of the pot (now a bit larger), the probability of splitting it with other winners, and the fact that you get to deduct the \$ 175,7 millones gastados de sus ganancias antes de impuestos. (Gracias a Michael McGowan por señalar esto último).

La olla actual es \$640M, with a \$ 462 millones de euros en efectivo. El bote anterior fue de \$252M cash payout, so using \$ 0,32 en la caja por billete, tenemos 656.250.000 billetes vendidos. Yo, la persona rica (que tiene suficientes sirvientes ya empleados que puedo enviarlos a todos a comprar estos boletos sin costo laboral adicional) agregaré alrededor de \$56M to the pot. So the cash pot is now \$ 518M.

Si soy el único ganador, entonces me sale neto ( \$518M + \$ 32M (mis ganancias aproximadas de los premios menores)) * 0,65 (impuestos federales) + 0,35 * \$176M (I get to deduct what I paid for the tickets) = \$ 419M. Vivo en California (por supuesto), así que no pago impuestos estatales por las ganancias de la lotería. ¡Obtengo un 138% de retorno de mi inversión! Bastante bien. Aunque haya tenido que pagar a todos esos sirvientes horas extras durante tres días.

Si comparto el gran premio con un solo ganador, me sale \$250M. A 42% return on my investment. Still good. With two other winners, I net $ 194 millones para una ganancia del 10%.

Si tengo que dividirlo con otros tres ganadores, entonces pierdo. Ahora no pago impuestos, pero no puedo deducir mis pérdidas en el juego de mis otros ingresos. Tengo un neto \$161M, about an 8% loss on my investment. If I split it with four other winners, I net \$ 135 millones, una pérdida del 23%. Ouch.

Entonces, ¿cuántos ganarán? Teniendo en cuenta los otros 656.250.000 boletos vendidos, el número esperado de otros ganadores (suponiendo una distribución aleatoria de las opciones, por lo que estoy ignorando el problema de elegir los cumpleaños en sus números) es 3,735. Hmm. Esto podría no resultar bien para el Sr. Bolsas de Dinero. Usando Poisson, $p(n)={\mu^n e^{-\mu}\over n!}$ , donde $\mu$ es el número esperado (3,735) y $n$ es el número de otros ganadores, sólo hay un 2,4% de probabilidades de que yo sea el único ganador, un 9% de probabilidades de que haya otro ganador, un 17% de probabilidades de que haya dos, un 21% de probabilidades de que haya tres, y luego empieza a bajar con un 19% de probabilidades de que haya cuatro, un 14% de que haya cinco, un 9% de que haya seis, y así sucesivamente.

Sumando todo eso, mi rendimiento esperado después de impuestos es de 159 millones de dólares. Cerca. Pero alrededor de un 10% de pérdida en promedio.

Oh, bueno. Es hora de llamar a esos sirvientes para que me hagan un sándwich.

Actualización del bote de Mega Millions del 23 de octubre de 2018:

El mismo cálculo.

El juego se ha vuelto más difícil de ganar, ya que ahora hay 302.575.350 números posibles, y cada billete cuesta \$2. So now it would cost $ 605.150.700 para asegurar un boleto ganador. Además, el tipo impositivo federal máximo ha subido al 39,6%.

El bote actual (a partir del sábado por la mañana - probablemente subirá más) tiene un valor en efectivo de \$904,900,000. The previous cash pot was \$ 565,600,000. Así que se han comprado o se espera que se compren unos 530 millones de boletos más, utilizando mi hipótesis anterior de que el 32% del coste de un boleto va al bote de dinero. Entonces el número medio de boletos ganadores, además del asegurado para el Sr. Bolsas de Dinero, es de unos 1,752. La verdad es que no está nada mal.

Sumando los posibles números de ganadores, obtengo un neto ganar de $\approx$ ¡\$60M! Así que si puedes permitirte comprar todos los billetes, y puedes averiguar cómo hacerlo en los próximos tres días, ¡hazlo! Aunque esa ganancia es sólo un 10% de retorno de la inversión, así que bien podrías hacerlo mejor en el mercado de valores. Además, esa ganancia tiene un margen muy estrecho y depende de los detalles del cálculo, que habría que comprobar más cuidadosamente. Pequeños cambios en los supuestos pueden hacer que la rentabilidad sea negativa.

Tenga en cuenta que si no está comprando todos los billetes posibles, esto no es una indicación de que el valor esperado de un billete es más de \$2. Comprar todos los valores posibles de los billetes es $e\over e-1$ veces más eficiente que comprar 302.575.350 al azar donde tendrías muchos boletos duplicados, y tendrías menos de una probabilidad de 2 en 3 de ganar.

Answer 3

Como usted dice, la probabilidad de un billete ganador es de aproximadamente 1 entre 176M. Por tanto, el número esperado de ganadores es de 612,5/176, es decir, aproximadamente 3,5. El premio esperado para un ganador no es simplemente \$448M/3.5 as the average of inverses is not the inverse of the average. You quote \$ 640M como el bote temprano, pero luego parece utilizar \$448M para su cálculo.

El enfoque de tu amigo también está bien. No he comprobado si sus números son coherentes. El VE sólo baja a medida que se venden más billetes, ya que el \$0.40 per ticket goes down, so this time it will never be above \$ 1.

Añadido: el valor de la prórroga $C$ es $\frac C{176M}$ para el primer billete comprado como la posibilidad de ganar. En general, es $\frac {C\cdot P_{win}}{n}$ donde $P_{win}$ es la probabilidad de que alguien gane = $1-(\frac {176M-1}{176M})^n$ y $n$ es el número de billetes nuevos comprados. Para $n$ grande, $P_{win} \approx 1$ y obtenemos la fórmula anterior.

Answer 4

En cuanto a la última parte de su pregunta sobre la probabilidad de que nadie gane, creo que podemos plantearla de la siguiente manera. Supongamos, por el bien del argumento, que todos los boletos se generan aleatoriamente y son independientes unos de otros. Un billete determinado perderá el bote con la probabilidad $p = \frac{175711535}{175711536}$ . Como hemos dicho que los billetes son independientes, la probabilidad de que dos billetes pierdan $p^2$ y, en general, la probabilidad de $n$ entradas todo perder es $p^n$ . Con 612,5 millones de entradas vendidas, esto equivale aproximadamente a un 3% de posibilidades de que nadie gane $(p^{612500000})$ .

Ahora bien, no es estrictamente cierto que los billetes en juego sean aleatorios e independientes entre sí. Sospecho que eso podría dar lugar a más boletos duplicados (cumpleaños, etc.) y, en consecuencia, a una probabilidad ligeramente mayor de que nadie gane. No tengo un buen marco para estimar eso, pero dudo que afecte a los resultados que mucho.

Editar : Como un aparte relacionado, estas suposiciones de boletos nos permiten usar la distribución binomial para encontrar la probabilidad de exactamente $n$ ganadores para nuestra elección de $n$ . He aquí una muestra aleatoria de que la distribución para 50 dibujos:

$$7, 3, 3, 4, 0, 4, 1, 3, 5, 1, 7, 4, 3, 5, 5, 6, 5, 6, 3, 5, 2, 2, 2, 1, 5, 3, 5, 2, 3, 6, 9, 1, 4, 1, 4, 3, 4, 2, 2, 5, 3, 3, 4, 0, 2, 5, 6, 5, 1, 3$$

Como puede ver, hay una buena posibilidad de que haya 4, 5, 6 o más ganadores del bote.

Answer 5

La única forma de ver un valor esperado positivo es que nadie gane esta noche y que haya algún tipo de cultura popular que llame la atención u otro tipo de fenómeno que haga que la gente se olvide inusualmente de que la lotería existe, de modo que la venta de billetes sea inusualmente baja al mismo tiempo que el bote es alto.

Si no es así, la venta de boletos tenderá a crecer dramáticamente a medida que el bote crezca, lo que hará que el número esperado de ganadores que dividan el bote disminuya sustancialmente el tamaño esperado del pago si se elige correctamente.

Escuchar las racionalizaciones de la gente en torno a esto es vertiginoso: A: "¡Mira, el bote es de 640M y las probabilidades son sólo de 1:175M que suena como +EV!" B: "El valor actual del bote es más bien de 448 millones..." A: "Eso sigue sonando a +EV" B: "Y tienes que pagar importantes impuestos..." A: "Sigue siendo +EV" B: "Y hay mucha gente jugando, así que incluso si ganas, probablemente te dividirás con varios otros". A: "Sí, pero en ese caso ganaré al menos 100M que es más de lo que puedo imaginar". B: "Que es lo mismo que cualquier otra semana ordinaria de Mega Millones; masivamente -EV".