Es $\exp(a\exp(a\exp(a\cdots)))$ , donde $a=\pi/2$ una representación válida de $i$ ?

Question

Toma $i=e^{\frac{i\pi}{2}}$ . Para esta pregunta será más conveniente escribirla como $i=e^{\frac{\pi}{2}i}$ . Sustituyendo este valor por $i$ obtenemos $$i=e^{\frac{\pi}{2}e^{\frac{\pi}{2}i}}$$ Por comodidad, dejemos que $a=\frac{\pi}{2}$ . Repitiendo esto nos da $$i=e^{ae^{ae^{ae^{\ldots}}}}$$ Entonces, si aplicamos esta sustitución infinitas veces, ¿el $i$ al final simplemente... ¿se va? Esto es un poco confuso porque necesitas un $i$ para colapsar toda la expresión, pero las cosas en el infinito son raras.

Si alguien puede ayudarme a entender mejor esta representación sería genial.

Answer 1

Podemos llamar a $$\large{e^{\frac{\pi}{2}e^{\frac{\pi}{2}i}}}$$ una "torre de energía" de altura $2$ .

La "torre del poder"

$$\Large{e^{\frac{\pi}{2}e^{\frac{\pi}{2}e^{\frac{\pi}{2}\cdot^{\cdot^{\cdot^{e^{\frac{\pi}{2}i}}}}}}}}$$

de altura $n$ ( $n$ iteraciones) converge a $i$ como $\ n\to\infty\ $ porque para cada $\ n,\ $ el valor de la torre siempre es igual a $\ i.$

Por otro lado,

$$\Large{e^{\frac{\pi}{2}e^{\frac{\pi}{2}e^{\frac{\pi}{2}\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}}$$

que es diferente al límite de la torre de potencia que acabamos de discutir, no es igual a un número real.

En general, hacer una operación ( $\ +, \times,\ $ ^ , otro) una cantidad infinita de veces es imposible de hacer de una vez: hay que realizar la operación una cantidad finita de veces y luego dejar que el "número de veces" que se realiza la operación aumente sin límite. Si la secuencia de "sumas parciales", "productos parciales" o "torres de potencia parciales" tiende a un límite como $\ n\to\infty,\ $ entonces decimos que la secuencia converge como $\ n\to\infty.\ $

Véase también: https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration#Infinite_heights