¿Cómo evitar los errores aritméticos?

Question

Cuando se trata de varios números y ecuaciones largas, es habitual cometer errores aritméticos por descuido que dan una respuesta errónea. Me preguntaba si alguien tiene consejos para detectar estos errores o, mejor aún, para evitarlos más a menudo. (aparte de la obvia comprobación del trabajo, que es imprescindible)

Answer 1

Una forma de comprobar los cálculos aritméticos en un anillo es mapear el cálculo homomórficamente en anillos donde el cálculo es más fácil. Por ejemplo, muchos anillos tienen paridad, es decir, tener $\mathbb Z/2$ como una imagen, y la asignación de la aritmética mod $2$ produce una simple comprobación de paridad que suele detectar errores. El reparto de nueves es otro ejemplo de comprobación aritmética modular (que también funciona para las fracciones cuyo denominador es coprimo a $9$ ). De manera más general se puede verificar igualdades utilizando un número suficiente de comprobaciones modulares, empleando la CRT (Chinese Remainder). En el caso de los anillos polinómicos se pueden aplicar de forma similar mapas de evaluación como comprobaciones. De nuevo, con un número suficiente de evaluaciones, se puede verificar igualdades (que aquí es CRT = interpolación de Lagrange).

Al igual que la TRC, estas factorizaciones o descomposiciones de una estructura algebraica en estructuras más simples son una poderosa técnica de resolución de problemas, aplicable no sólo a la comprobación de la aritmética, sino también de forma bastante general. Es la forma que tienen los algebristas de divide y vencerás . Si se combina con un poco de lógica, se obtiene una potencia aún mayor. Un ejemplo no trivial es la prueba teórica del modelo del teorema de Jacobson, que los anillos que satisfacen la identidad $\rm\:x^m = x \:$ son conmutativos. Se procede por un cierto tipo de factorización de anillos, que reduce el problema a los anillos (subdirectamente) irreducibles que satisfacen la identidad. Estos resultan ser resultan ser ciertos campos finitos, que son conmutativos, como se desea. En cierto sentido, la prueba funciona explotando el hecho de que el enunciado sólo tiene que verificarse en un cierto conjunto de casos más simples (campos finitos), donde la verificación es mucho más fácil. Por tanto, esto puede verse como una gran generalización de las ideas empleadas en los casos más elementales anteriores.

Answer 2

Una técnica poco utilizada es la de rehacer el cálculo en una hoja aparte sin mirando sus cálculos anteriores. Sigues siendo vulnerable a cometer el mismo error, pero detectará bastante bien los frívolos.

Answer 3

Siempre puedes utilizar todo tipo de aplicaciones informáticas, pero éstas sólo te ayudan si las tienes cerca.

Supongo que te refieres a hacer cálculos en papel o en la cabeza, y aquí tendría una sugerencia, que me resultó más que excelente.

Es muy sencillo: concentración, concentración, concentración.

Tienes que pensar en lo que estás computando, y nada más. Puede parecer una estupidez, pero te sorprenderá tu propio poder mental si te mantienes absolutamente concentrado.

Buena suerte.

Answer 4

Como se ha mencionado en otras respuestas, los ordenadores son muy buenos en aritmética. Si no dispones de ellos, intenta calcular la respuesta de varias formas diferentes o, al menos, haz los pasos en un orden distinto. Si siempre obtienes la misma respuesta es probable que sea correcta. Si las respuestas son diferentes, investiga el origen de la diferencia. La eliminación de los nueves no detectará los errores de transposición, pero sí los de transporte.

Después de escribir lo anterior he recordado este método gráfico de multiplicación: Multiplicación por recuento de puntos .

Answer 5

Utilizo sumas de comprobación para las operaciones de memoria.

Un ejemplo sencillo es que cada vez que mi mujer me da una larga lista verbal de alimentos para comprar, yo cuento el total. Si es un número grande, digamos > 20 artículos, entonces lo divido en 3 categorías. Si pretendo que una simple suma es fácil de recordar para la memoria a corto plazo, entonces puedo acumular o contar hasta el proceso (en este caso; simple recordar, buscar y buscar) siempre y cuando recuerde el número total de artículos, rara vez olvido uno. Para divertirme puedo recordar la palabra que puedo deletrear con la primera letra de cada elemento. Esto da más redundancia e información de suma de comprobación de una manera fácil de recordar.

El reto es contar paréntesis, variables y transformaciones y visualizar el proceso como sus sumas de verificación.