¿Cómo evitar los errores aritméticos?

Question

Cuando se trata de varios números y ecuaciones largas, es habitual cometer errores aritméticos por descuido que dan una respuesta errónea. Me preguntaba si alguien tiene consejos para detectar estos errores o, mejor aún, para evitarlos más a menudo. (aparte de la obvia comprobación del trabajo, que es imprescindible)

Answer 1

Hay ciertos métodos rápidos llamados controles de sanidad que detectará la mayoría de los errores aritméticos (pero no todos). Uno de los más comunes es sustituir cada número por la suma de sus dígitos, que es el método de "expulsión de nueves" mencionado en la respuesta de Robert Israel. Para comprobar un cálculo, digamos $567\times 894=506,898$ sustituimos $567$ avec $5+6+7=18$ y $894$ avec $8+9+4=21$ y luego sustituir cada uno de ellos por la suma de sus dígitos para obtener $9$ y $3$ (en general seguimos haciendo esto hasta llegar a $1$ dígito), mientras que en el otro lado obtenemos $5+0+6+8+9+8=36$ y luego $3+6=9$ . A continuación, comprobamos que $9\times 3=9$ después de descartar los nueves en ambos lados, por lo que nuestra respuesta es probablemente correcta (aunque no necesariamente). Este método se llama "descartar nueves" porque garantiza que cualquier respuesta que se compruebe difiere de la respuesta real en un múltiplo de nueve (con suerte $0\times 9$ ).

Sin embargo, este método tiene un grave inconveniente: si la respuesta que se está comprobando es correcta, excepto por tener los dígitos cambiados (un error relativamente común), el método no detectará el error. Un remedio para esto es utilizar el "reparto de onces", en el que se toma el alternando sumas de los dígitos en lugar de las sumas, de manera que el último dígito siempre se suma en lugar de restarse. En nuestro ejemplo anterior, esto se convierte en $5-6+7=6$ , $8-9+4=3$ y $5+0-6+8-9+8=-4$ . Aquí tenemos que ser un poco cuidadosos: queremos tomar la ecuación $6\times 3-(-4)=0$ En el caso de que la ecuación no sea válida, hay que sacar los once (tomar la suma alternada) y comprobar que la ecuación resultante es válida, que en este caso lo es. Movemos todo a un lado para no tener que trabajar con números de distinto signo ( $6\times 3=-4$ es cierto $\bmod 11$ que es lo que importa, pero no es obvio cómo echar los onces para demostrarlo). Esto garantiza que cualquier respuesta que se compruebe difiere de la respuesta real en un múltiplo de once (con suerte $0\times 11$ ), de ahí el nombre.

Editar: Ambos métodos pueden hacerse rigurosos con la aritmética modular. El primero comprueba simplemente que una ecuación es válida $\bmod 9$ y la suma de los dígitos proviene del hecho de que $$\begin{eqnarray} d_n\cdots d_1d_0 &=& \sum\limits_{i=1}^n 10^id_i\\ &\equiv& \sum\limits_{i=1}^n 1^id_i (\bmod 9)\\ &=&\sum\limits_{i=1}^n d_i \end{eqnarray}$$ mientras que el segundo comprueba que se cumple una ecuación $\bmod 11$ y la suma alternada de los dígitos proviene del hecho de que $$\begin{eqnarray} d_n\cdots d_1d_0 &=& \sum\limits_{i=1}^n 10^id_i\\ &\equiv& \sum\limits_{i=1}^n (-1)^id_i (\bmod 11) \end{eqnarray}$$

Hay que reconocerlo: creo que leí sobre esto hace años en una pregunta al Dr. Math de un profesor de primaria que había estado enseñando el método y quería saber cómo funcionaba.

Answer 2

Según mi experiencia, la mejor manera de evitar los errores de cálculo es evitar el cálculo. Desarrolle algoritmos generales para cualquier cantidad que esté buscando y luego proceda a "enchufar y tirar" como último paso. Sin embargo, las matemáticas requieren precisión, y a menudo no se puede evitar tener que peinar el trabajo tediosamente.

Answer 3

He descubierto que la mejor manera de evitar este tipo de errores de cálculo es:

1. Para tener extremadamente una escritura limpia y clara.

2. Utilizar eficazmente el espacio de la página para organizar el trabajo de forma lógica.

3. Utiliza un lápiz. Nunca taches las cosas, sino que las borres.

4. Tómate siempre el tiempo de pensar las cosas lenta y cuidadosamente.

5. Mantén tu escritorio muy limpio y bien organizado.

Creo que si escribes las cosas de forma clara, entonces pensarás de forma clara; y si escribes de forma descuidada, pensarás de forma descuidada.

Answer 4

En mi opinión, para la investigación, utiliza un ordenador. Tu cerebro nunca será perfecto.

Por ejemplo, si tienes un examen de álgebra lineal, es aconsejable calcular las inversiones de las matrices unas cuantas veces (entre 20 y 40 veces, dependiendo de la capacidad de cálculo de tu cerebro) para que te sientas cómodo con los detalles algorítmicos y puedas concentrarte en los números más fácilmente durante el cálculo.

Pero además, aunque haya practicado durante una semana, un mes después ya he perdido el hábito de computar la cosa en cuestión y empiezo a abusar de mi cerebro como un loco para computar...

Espero que eso ayude.

Answer 5

Una sencilla herramienta que detecta muchos errores aritméticos es "echar nueves". Véase http://en.wikipedia.org/wiki/Casting_out_nines