Un conjunto $X$ se dice que es denumerable si existe una biyección $\mathbb{Z}^+\rightarrow X$
Declaración a probar:
El de los racionales $\mathbb{Q}$ es denumerable.
Prueba:
Definir $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^+$ por $f(q)=(m,n)$ donde $\frac{m}{n}$ es la fracción que representa $q$ en sus términos más bajos (es decir $q=\frac{m}{n}, n>0$ y $\text{gcd}(m,n)=1$ . Esto es claramente una inyección. Su imagen es un subconjunto infinito del conjunto denumible $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^+$ y, por tanto, es denumerable. Por lo tanto, como $f$ define una biyección sobre su imagen, $\mathbb{Q}$ es denumerable.
Preguntas:
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Puedo ver que $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^+$ es denumerable. Pero por la forma en que $f$ se define, tuve la sensación de que la imagen de $f$ es $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^+$ . No puedo encontrar un contraejemplo que demuestre que esto es falso. Por favor, ayúdenme a encontrar un contraejemplo y a demostrar que la imagen de $f$ es en realidad un subconjunto infinito de $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^+$ .
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No tengo clara la última frase, "... $f$ define una biyección sobre su imagen". ¿Significa esto que la biyección a la que se refiere, digamos $g$ es: $$g:\mathbb{Q}\rightarrow \text{Im}(f)$$ donde: $$g(q)=f(q)$$ y como $\text{Im}(f)$ también es denumerable, existe una biyección, $i:\text{Im}(f)\rightarrow \mathbb{Z}^+$ . Por lo tanto, podemos construir una biyección $f\circ g:\mathbb{Q}\rightarrow \text{Im}(f) \rightarrow \mathbb{Z}^+$ lo que demuestra que $Q$ también es denumerable. ¿Es esto lo que quería decir el texto?
