Ayudar a explicar la prueba de que $\mathbb{Q}$ es denumerable

Question

Un conjunto $X$ se dice que es denumerable si existe una biyección $\mathbb{Z}^+\rightarrow X$

Declaración a probar:

El de los racionales $\mathbb{Q}$ es denumerable.

Prueba:

Definir $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^+$ por $f(q)=(m,n)$ donde $\frac{m}{n}$ es la fracción que representa $q$ en sus términos más bajos (es decir $q=\frac{m}{n}, n>0$ y $\text{gcd}(m,n)=1$ . Esto es claramente una inyección. Su imagen es un subconjunto infinito del conjunto denumible $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^+$ y, por tanto, es denumerable. Por lo tanto, como $f$ define una biyección sobre su imagen, $\mathbb{Q}$ es denumerable.

Preguntas:

1. Puedo ver que $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^+$ es denumerable. Pero por la forma en que $f$ se define, tuve la sensación de que la imagen de $f$ es $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^+$ . No puedo encontrar un contraejemplo que demuestre que esto es falso. Por favor, ayúdenme a encontrar un contraejemplo y a demostrar que la imagen de $f$ es en realidad un subconjunto infinito de $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^+$ .

2. No tengo clara la última frase, "... $f$ define una biyección sobre su imagen". ¿Significa esto que la biyección a la que se refiere, digamos $g$ es: $$g:\mathbb{Q}\rightarrow \text{Im}(f)$$ donde: $$g(q)=f(q)$$ y como $\text{Im}(f)$ también es denumerable, existe una biyección, $i:\text{Im}(f)\rightarrow \mathbb{Z}^+$ . Por lo tanto, podemos construir una biyección $f\circ g:\mathbb{Q}\rightarrow \text{Im}(f) \rightarrow \mathbb{Z}^+$ lo que demuestra que $Q$ también es denumerable. ¿Es esto lo que quería decir el texto?

Answer 1

Pregunta 1: La imagen de $f$ no es $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^+$ porque $(4,2) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^+$ no está en la imagen. La imagen de $f$ es un subconjunto infinito de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^+$ porque el dominio es infinito y $f$ es inyectiva.

Pregunta 2: Sí y sí.

Answer 2

1. El par ordenado $(6,3)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z^+}$ pero, $gcd(6,3)=2\neq1$ . Así que no hay ningún elemento de $\mathbb{Q}$ que se asignará a $(6,3)$ por lo que $f(\mathbb{Q})\subsetneq \mathbb{Z}\times\mathbb{Z^+}$

2. Sí. Sabemos que la función es un mapeo uno a uno a $\mathbb{Z}\times\mathbb Z^+$ . También es un mapeo onto a su imagen, o a su rango. Entonces, si restringimos el codominio de $f$ a su imagen, tenemos una biyección. Ahora bien, como la imagen es un subconjunto de un conjunto denumerable, también debe ser denumerable. Ahora $f$ es una biyección a un conjunto denumerable.