Funciones sobreyectivas e inyectivas

Question

Digamos que tenemos una función $f: \mathbb{A} \rightarrow \mathbb{B} $

¿Es posible tener alguna función tal que no todos los elementos de A correspondan a algún valor de B?

Como, por ejemplo, en estas imágenes para varias funciones sobreyectivas e inyectivas:

¿Sería posible tener alguna función que tenga elementos en A que no se correspondan con ningún valor de B? Como en el ejemplo 1, ¿sólo tener el 3 en A sin mapear al elemento en B?

Answer 1

Por definición, $f$ es una función de $A$ a $B$ si asigna a cada elemento $a \in A$ un elemento $f(a) \in B$ . A parcial función de $A$ a $B$ es exactamente lo que buscas: es una asignación de función a algunos elementos $a \in A$ valores $f(a) \in B$ . En un contexto en el que se habla de funciones parciales, si se quiere enfatizar que una función no es parcial, entonces se la llama total función.

Answer 2

Curiosamente, el análisis y el cálculo real se expresan mejor en términos de funciones parciales $f: \mathbb R \to \mathbb R$ que tienen un dominio $ D(f)$ y una gama $ R(f)$ . Para esto sólo usaré el nombre de función. Entonces una función inyectiva $f$ tiene un inverso $f^{-1} $ y $D(f^{-1}) = R(f), R(f^{-1}) = D(f)$ . Por supuesto, la función sin no es inyectiva, pero su restricción al intervalo $[-\pi/2, +\pi/2]$ es inyectiva y su inversa es nuestro viejo amigo sin $^{-1}$ . También tenemos la función vacía, dada por, por ejemplo, log(log(sin $x$ ))). Obsérvese que la solución de una ecuación diferencial de primer orden suele ser una función parcial.

Por ello, se podría pensar que el análisis funcional de las funciones parciales estaría bien desarrollado, e incluso sería importante, pero creo que apenas existe. Un estudiante de investigación y yo escribimos un artículo

A,M. Abd-Allah y R. Brown, ``A compact-open topology on partial maps with open domain'', J. London Math Soc. (2) 21 (1980) 480-486.

(y el caso del dominio cerrado también es interesante y útil), pero no es tan fácil ver cómo tratar funciones con dominios bastante generales. No obstante, una búsqueda de "espacios de mapas parciales" da bastantes resultados.