¿Qué velocidades son lo suficientemente "rápidas" como para necesitar la fórmula de adición de la velocidad relativista?

Question

En esta pregunta el respuesta aceptada dice:

Para los objetos que se mueven a baja velocidad, su intuición es correcta: digamos que el autobús se mueve a la velocidad $v$ con respecto a la tierra, y corres a una velocidad $u$ en el bus, entonces la velocidad combinada es simplemente $u+v$ .

Pero, cuando los objetos comienzan a moverse rápido Pero no es así como funcionan las cosas. La razón es que tiempo Las mediciones empiezan a depender también del observador, por lo que la forma de medir el tiempo es un poco diferente de la forma en que se mide en el autobús, o en la tierra. Teniendo en cuenta esto, tu velocidad comparada con la de la tierra será $\frac{u+v}{1+ uv/c^2}$ . donde $c$ es la velocidad de la luz. Esta fórmula se deriva de la relatividad especial.

¿Qué es "rápido" en esta respuesta? ¿Existe un punto de corte para cuando deja de ser $u+v$ y se convierte en $\frac{u+v}{1+ uv/c^2}$ ?

Answer 1

Para simplificar, consideremos el caso $u=v$ . La fórmula "lenta" es entonces $2u$ y la fórmula "rápida" es $\frac{2u}{1+(u/c)^2}$ . En el gráfico se pueden ver estos resultados en unidades de $c$ . La fórmula "lenta" (en rojo/guión) es siempre errónea para $u\ne0$ pero es lo suficientemente buena [cercana a la fórmula "rápida" (azul/sólida)] para pequeñas $u/c$ . El punto de corte que se elija dependerá de la precisión requerida. Cuando $u<c/10$ entonces es probable que la diferencia sólo sea importante para los trabajos de alta precisión.

Una ampliación de la serie sobre $u=v=0$ muestra la fórmula "lenta" como primer término y que las correcciones son pequeñas para $uv \ll c^2$ :

$$ \frac{u + v}{1+uv/c^2} = (u + v)\left[1-\frac{uv}{c^2} + \left(\frac{uv}{c^2}\right)^2 + O\left(\frac{uv}{c^2}\right)^3\right] $$

Answer 2

Suelo ser un poco más específico con mis alumnos. Pensemos en un coche que circula por la autopista a $\rm 30\,m/s \approx 60\,mph$ . Entonces el denominador en la fórmula relativista es algo así como $$ 1 + \left(\frac vc\right)^2 = 1 + \left( \frac{30\rm\,m/s}{3\times10^8\rm\,m/s} \right)^2 = 1 + 10^{-14} $$ En su coche, pues, la diferencia entre la adición de la velocidad galileana y la relativista empieza en el decimocuarto decimal. ¿Sabes la velocidad de tu coche con catorce decimales? Aquí es donde se ríen conmigo.

Es habitual en los experimentos ignorar los errores de nivel porcentual, es decir, confiar en un número con unos tres decimales. Los errores de este tamaño empiezan a aparecer entre la dinámica clásica y la relativista cuando se tiene $v/c \approx 0.1$ así que ese es un límite común para "rápido".

Tenga en cuenta que si no puede ignorar las correcciones porcentuales, su definición de "rápido" cambia. Por ejemplo, un satélite en órbita terrestre baja tiene una velocidad de $$ v = \frac{2\pi R_\oplus}{90\rm\,minutes} \approx 7500\,\mathrm{m/s} \approx 2\times10^{-5}c $$ y por lo tanto tiene correcciones relativistas $(v/c)^2 \approx 10^{-10}$ comenzando aproximadamente en el décimo decimal. En el Sistema de posicionamiento global (GPS) la corrección relativista total de aproximadamente $38\rm\,\mu s/day \approx 5\times10^{-10}$ también está a este nivel, al igual que la precisión a escala centimétrica $$ \frac{1\rm\,cm}{26\,000\rm\,km} \approx 4\times10^{-10} $$ que ocasionalmente se reclama para el hardware GPS de grado militar.

Answer 3

En realidad, independientemente de la velocidad de los objetos en cuestión, la fórmula de "adición de velocidad" es siempre $\frac{u+v}{1+uv/c^2}$ .

No hay ningún punto de transición en el que la fórmula cambie de $u+v$ a la de la relatividad especial. Sólo que la diferencia que se obtiene en ambas fórmulas a "bajas velocidades" es muy, muy insignificante. $c^2$ , en $m^2/s^2$ es $9*10^{16}$ . La velocidad media de un autobús es $3.6$ $m/s$ . Incluso para los más grandes $u,v$ valores que eso, $uv/c^2$ es insignificante. Por eso la fórmula no es muy útil en casos de baja velocidad. La importancia se observa cuando $uv/c^2$ es una parte importante de $1$ .

Answer 4

La fórmula "rápida" es siempre la correcta.

Una velocidad "rápida" es aquella que es comparable a la velocidad de la luz. Sin embargo, cuando las dos velocidades implicadas son mucho menores que la velocidad de la luz, la fórmula "lenta" es una muy buena aproximación.

Answer 5

¿Cuándo un objeto va lo suficientemente rápido [como para requerir el uso de $\frac{u+v}{1+ uv/c^2}$ ]?

Cuando te acercas a la velocidad de la luz.

¿A qué velocidad hay que ir para "acercarse" a la velocidad de la luz?

Eso depende de la precisión.

La clave es que $\frac{u+v}{1+ uv/c^2}$ siempre funciona. Sin embargo, no es exactamente sencillo, así que generalmente nos gusta utilizar una aproximación: $u+v$ . Esta aproximación es bastante precisa, a menos que empieces a acercarte a la velocidad de la luz. A menos que requiera una gran precisión, debería estar bien usando $u+v$ siempre y cuando $u < 0.1 * c$ y $v < 0.1 * c$ .

Descargo de responsabilidad: creo que ya se ha dicho todo, sólo he intentado reformularlo para que responda mejor a la pregunta.