Factor simple de la ecuación

Question

Tengo este polinomio: $5z^4-12z^3+30z^2-12z+5$

¿Cómo lo factorizo para obtener lo siguiente?: $(5z^2-2z+1)(z^2-2z+5)$

¿Puede alguien indicarme el procedimiento a seguir cuando me encuentre con un caso así? Gracias.

Answer 1

Debes aprovechar la simetría: escribe el polinomio como $$z^2\left(5z^2+\frac{5}{z^2}-12z-\frac{12}{z}-30\right)$$ y observar que $$z^2+\frac{1}{z^2}=\left(z+\frac{1}{z}\right)^{\!2}-2$$ por lo que se puede reescribir la expresión como $$z^2\left(5\left(z+\frac{1}{z}\right)^{\!2}-12\left(z+\frac{1}{z}\right)-40\right)$$ El polinomio $$5t^2-12t-40$$ tiene raíces $$a=\frac{6+\sqrt{236}}{5},\quad b=\frac{6-\sqrt{236}}{5}$$ por lo que obtenemos $$5z^2\left(z+\frac{1}{z}-a\right)\left(z+\frac{1}{z}-b\right)$$ que puede reescribirse como $$5(z^2-az+1)(z^2-bz+1)$$

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Si su polinomio es $$5z^4-12z^3\color{red}{+}30z^2-12z+5$$ el mismo procedimiento daría un polinomio en $t$ sin verdaderas raíces. En particular, no hay ninguna raíz real para el polinomio.

En este caso sabes que si $\alpha$ es una raíz, también $\alpha^{-1}$ es la raíz. Como existe una factorización real, las raíces deben tener módulo $1$ y si emparejamos los pares conjugados, obtenemos una factorización de la forma $$5z^4-12z^3+30z^2-12z+5= (5z^2+az+b)(bz^2+az+5)$$ (intente ver por qué). Ahora es bastante fácil encontrar $a$ y $b$ .

O puedes intentar encontrar las raíces complejas. El procedimiento se reduce al polinomio $$5t^2-12t+20$$ cuyas raíces son $$\frac{6+8i}{5},\qquad \frac{6-8i}{5}$$ por lo que sólo hay que resolver las ecuaciones $$z+\frac{1}{z}=\frac{6+8i}{5} \qquad z+\frac{1}{z}=\frac{6-8i}{5}$$

Answer 2

(1)
No hay un procedimiento único que siempre funcione.
La gente suele utilizar el teorema de la raíz racional para ver si hay una raíz racional fácil de encontrar.
Si lo utilizas aquí, habrás comprobado que $-1$ y $+1$ no son raíces.

Este polinomio no tiene raíces racionales.

Véase también:

factorizar el polinomio

(2)
Como el polinomio es de grado 4, puedes escribir tu polinomio como...

$5(z^2+az+b)(z^2+cz+d)$

... luego abra los paréntesis y vea qué ecuaciones obtiene para $a,b,c,d$ y luego tratar de satisfacerlos.