Regularización del efecto Casimir

Question

Para empezar, permítanme decir que aunque el efecto Casimir es un tema estándar de los libros de texto, el único libro de texto de QFT que tengo al alcance es el de Weinberg y no lo discute. Así que la única fuente que tengo actualmente sobre el tema es Wikipedia . No obstante, sospecho que esta pregunta es apropiada, ya que no recuerdo que se haya tratado en otros libros de texto

Ingenuamente, el cálculo de la presión de Casimir conduce a sumas infinitas y, por tanto, requiere una regularización. Se pueden utilizar varios reguladores que dan la misma respuesta: función zeta, núcleo de calor, gaussiano, probablemente también otros. La cuestión es:

¿Cuál es la razón matemática por la que todos los reguladores dan la misma respuesta?

En términos físicos significa que el efecto es insensible a la física detallada del corte UV, que en una situación realista está relacionado con las propiedades de los conductores utilizados. La Wikipedia menciona que para algunas geometrías más complicadas el efecto es sensible al corte, ¿por qué para el ejemplo clásico de los planos paralelos no lo es?

EDIT: Aaron proporcionó una maravillosa referencia de Terry Tao relevante para esta cuestión. De este texto se desprende que la suma divergente para la energía del vacío puede descomponerse en una parte finita y otra infinita, y que la parte finita no depende de la elección del regulador. Sin embargo, la infinito parte depende de la elección del regulador (véase la ecuación 15 en el texto de Tao). Ahora tenemos otro parámetro en el problema: la separación entre los planos conductores L. Lo que tenemos que demostrar es que la parte infinita no depende de L. Esto sigue pareciendo un milagro ya que debería ocurrir para todos los reguladores. Además, a menos que me confunda, no funciona para el ejemplo de juguete de un escalar sin masa en 2D. Para este ejemplo, todos los términos de la suma de la energía del vacío son proporcionales a 1/L, por lo que la parte infinita de la asintótica de la suma también es proporcional a 1/L. Así que tenemos un "milagro" que ocurre sólo para geometrías y dimensiones específicas

Answer 1

Consulta el brillante post de Terry Tao sobre la regularización de la función zeta aquí (Nunca entendí el tema hasta que leí este post). La respuesta corta es que todos están calculando lo mismo, la asintótica (convenientemente definida) de la suma divergente.

Answer 2

Aunque no sé si existe una prueba general, creo que el efecto Casimir efecto Casimir de una teoría cuántica de campos renormalizable debería ser completamente entender por medio de una teoría de renormalización en las variedades con límite. La característica clave es que no se puede, en general, despreciar la renormalización de las constantes de acoplamiento en los términos de frontera. Utilizando esta estrategia, Bondag y Vassilevich observó que la renormalización de la superficie de la tensión superficial (la acción completa, incluyendo los términos superficiales, se da en la ecuación 44) proporciona un contra-término que cancela un término divergente en la energía de Casimir de una bola dieléctrica que no puede ser cancelada por la punto cero (como señalaron los mismos autores, junto con Kirsten, en la con Kirsten en un un trabajo anterior ). En el trabajo posterior, los autores verificaron que el modelo que incluye los términos de superficie es renormalizable en un bucle.

Answer 3

(Este argumento es para un sistema unidimensional, pero se pueden dar argumentos similares en dimensiones superiores. Trabajamos en unidades con $c = \hbar = e = 1$ ).

Supongamos que tenemos algún procedimiento regulador parametrizado por un corte de momento $\Lambda$ . Entonces, para la distancia $L$ entre dos placas paralelas, podemos expandir la suma de energía regularizada en potencias del corte como $$E = a_L \Lambda^2 + b_L \Lambda + c_L + O\left(\frac{1}{\Lambda}\right).$$ Podemos deducir la dependencia de $a_L$ y $b_L$ por análisis dimensional. Los dos primeros términos provienen de la contribución de energías muy altas a la suma. Por tanto, no pueden depender de cosas como, por ejemplo, la masa del electrón, que es despreciable a altas energías; la única escala de energía disponible es 1/L. Así, la única dependencia permitida por el análisis dimensional es $a_L = \alpha L, b_L = \beta$ para algunas constantes adimensionales $\alpha$ y $\beta$ . Así obtenemos $$E = \alpha L \Lambda^2 + \beta \Lambda + c_L + O\left(\frac{1}{\Lambda}\right).$$ Está claro que el segundo término desaparecerá cuando calculemos la fuerza $dE/dL$ . ¿Y el primer término? Observa que siempre hay un vacío en ambos lados de cualquier plato. Si movemos una placa por $dx$ entonces el primer término da un aumento de la energía del vacío a la izquierda por $\alpha \Lambda^2 dx$ pero también da una disminuir de la energía del vacío a la derecha en la misma cantidad. Por lo tanto, siempre que calculemos la derivada de la total energía en el vacío, el primer término también desaparece.

Esto demuestra que (en el límite de corte grande, para que el $O(1/\Lambda)$ términos desaparecen) la fuerza proviene únicamente de $c_L$ que, de hecho, es independiente del corte. Es de esperar que el término sea realmente independiente de todos los detalles del regulador; el post de Terence Tao (al que ya se ha hecho referencia en la respuesta de Aarón) demuestra esto en un caso especial, es decir, el bosón libre sin masa.

Answer 4

Es muy posible que se pregunte lo mismo sobre cualquier cálculo en mecánica cuántica: ¿por qué diferentes reguladores para cantidades formalmente divergentes dan el mismo resultado? La respuesta es que, suponiendo que esos reguladores no rompan simetrías importantes que afectan a nuestras mediciones (como, por ejemplo, la invariancia de Lorentz), los reguladores sólo alteran la física en el ultravioleta y dejan la física en el infrarrojo igual. Si estamos interesados en la física de baja energía, entonces los diferentes reguladores dejarán intactas las cantidades que nos interesan, y sólo modificarán los detalles irrelevantes de alta energía. Esto no es un milagro. Véase también la discusión en: ¿Qué técnicas de renormalización existen para la QED 3+1?

En el artículo original de Casimir, presentó una derivación que muestra tout La elección "sensata" del regulador dará el mismo resultado. Esto es esencialmente lo que Terry Tao repasa en su entrada del blog, pero su entrada es bastante detallada y tal vez una presentación más digerible podría ser útil. Es así:

En una caja unidimensional, las frecuencias se cuantifican a las de las ondas planas, $\omega_n=\tfrac{\pi}{\ell}n$ donde $\ell$ es el tamaño de la caja. Definamos entonces \begin{align} E(\ell)=\sum_n\frac{1}{2}\omega_n \end{align} la suma de las energías del punto cero de estos modos. Modifiquemos ahora esta suma con un regulador (mayormente) arbitrario, \begin{align} E(\ell)=\frac{\pi}{2}\sum_n\frac{n}{\ell}\ f\ \left(\frac{n}{\ell\Lambda}\right) \end{align} donde acabamos de multiplicar cada término de la suma por $f(\frac{n}{\ell\Lambda})$ . Sólo suponemos que esta función $f(x)$ muere más rápido que $x^{-1}$ y que $f(0)=1$ . El primer requisito es simplemente que el regulador sólo apague los modos a altas energías - las frecuencias UV atraviesan la caja. El segundo requisito es simplemente que el regulador no debe afectar al espectro en el IR.

Imaginemos ahora que tenemos un par de lugares separados por una distancia $a$ , dentro de una caja más grande de tamaño $L$ que se muestra a continuación $^1$ :

Si dejamos $L$ fijos, y varían $a$ la fuerza sobre las paredes de nuestras placas a la distancia $a$ es $-dE/da$ . La energía del $L-a$ lado de la caja es \begin{align} E(L-a)=\frac{\pi}{2}\sum_n\frac{n}{(L-a)}\ f\ \left(\frac{n}{(L-a)\Lambda}\right) \end{align}

y si tomamos el límite del continuo $L\rightarrow\infty$ obtenemos \begin{align} E(L-a)\rightarrow\frac{\pi}{2}(L-a)\Lambda^2\int xf(x) dx \end{align} Así que ahora añadiendo la suma discreta para entre las placas a la suma continua para el exterior de las placas, obtenemos \begin{align} E_{total}=E(a)+E(L-a)=\frac{\pi}{2}L\Lambda^2\int x\ f(x) dx+\frac{\pi}{2a}\left(\sum_n\ n\ f\left(\frac{n}{a\Lambda}\right)-\int \ n\ f\left(\frac{n}{a\Lambda}\right) dn\right) \end{align} La diferencia entre la suma de una función y su integral viene dada por la fórmula de Euler-Maclaurin: \begin{align} \sum_{n=1}^Nf(n)-\int_0^Nf(n)dn=\frac{f(0)+f(N)}{2}+\frac{f'(0)-f(0)}{12}+...B_j\frac{f^{(j-1)}(0)+f^{(j-1)}(N)}{j!} \end{align} donde $B_j$ son los números de Bernoulli.

Bien, ahora sólo nos importan las partes de esta expresión que dependen de $a$ ya que vamos a diferenciar con respecto a $a$ . Aislando estos términos, \begin{align} E_{total}=-\frac{\pi f(0)}{24a}-\frac{B_4}{4!}\frac{3\pi}{2a^3\Lambda^2}f^{''}(0)+... \end{align} donde el $...$ se suprimen con potencias crecientes de $\Lambda$ . Si $\Lambda$ se toma como grande, desechamos todo excepto el primer término; recordando que requerimos $f(0)=1$ obtenemos entonces la fuerza de Casimir \begin{align} F=-\frac{dE}{da}=-\frac{\pi}{24a^2} \end{align}

Ahora bien, a menudo resulta misterioso para la gente por qué, por ejemplo, manipulaciones esotéricas como la regularización zeta dan la respuesta correcta. El argumento anterior desmitifica por qué los buenos reguladores son buenos reguladores: se puede ampliar la diferencia entre la suma real sumada a un corte y la suma zeta (o cualquier otra suma - la suma del núcleo de calor quizás) utilizando Euler-Maclaurin y mostrar que hay una pieza universal que no se ve afectada por la elección del corte. Sólo pueden ocurrir cosas malas si los reguladores rompen las simetrías.

Te preocupa que con diferentes geometrías o dimensiones esto no funcione - ¡pero lo hace! Mientras el regulador no rompa la simetría de la geometría, no hay problema. No está claro cuál es su $2d$ ejemplo escalar que tienes en mente es, pero si es un problema tipo Casimir, entonces la parte infinita ciertamente no dependerá de la separación de las placas, así que estamos bien. Una respuesta anterior e interesante señala que, a veces, si las placas tienen una frontera extraña, el regulador tiene que hacer algo más que "restar la energía del punto cero" - la línea de fondo, sin embargo, es que usted necesita para jugar con la física UV sólo de una manera que respete las simetrías de la frontera.

$^1$ _{Imagen (y derivación) robada descaradamente del libro de texto de QFT de Matt Schwartz.}

Answer 5

Las cantidades que podemos medir en el laboratorio son finitas. Tenemos modelos matemáticos que, cuando se utilizan de forma ingenua, arrojan valores infinitos para las cantidades que podemos medir. Consideremos estos valores infinitos artefactos del modelo matemático/herramienta/método de cálculo específico. Si se puede identificar la forma en que un tipo particular de infinito constantemente surge en un modelo/método matemático, entonces se puede hacer un seguimiento y "restarlo" (es decir, renormalizarlo) de forma coherente.

Si, para una manera particular de calcular, los infinitos surgen de manera fortuita... entonces, no hay manera de eliminarlos de manera matemáticamente consistente y no se oye hablar de esa manera particular.