En un espacio métrico $(X,d)$ si dos secuencias { $x_n$ } y { $y_n$ } son Cauchy entonces d( $x_n$ , $y_n$ ) es convergente

Question

Sea (X,d) un espacio métrico y{ ${x_n}$ } , { $y_n$ } sean dos secuencias de Cauchy arbitrarias en X entonces { $d(x_n,y_n)$ } es convergente.

Creo que es suficiente mostrar que { $d(x_n,y_n)$ } es Cauchy en $\mathbb R$ . Pero no puedo utilizar la desigualdad del triángulo correctamente para que no pueda traer el resultado.

Necesito la ayuda de alguien por favor..

Answer 1

Dejemos que $\epsilon>0$ se dé. Como $\{x_n\}$ es Cauchy, existe $N_1$ tal que $d(x_n,x_m)<\frac\epsilon2$ para todos $n,m>N_1$ . Del mismo modo, existe $N_2$ tal que $d(y_n,y_m)<\frac\epsilon2$ para todos $n,m>N_1$ . Por lo tanto, con $N:=\max\{N_1,N_2\}$ tenemos $$d(x_n,y_n)\le d(x_n,x_m)+d(x_m,y_m)+d(y_m,y_n)< d(x_m,y_m)+\epsilon$$ y lo mismo con $n\leftrightarrow m$ Por lo tanto $$|d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)|<\epsilon$$ para todos $n,m>N$ .

Answer 2

Tenemos

$d(x_n,y_n) \le d(x_n,x_m)+d(x_m,y_n) \le d(x_n,x_m)+d(x_m,y_m)+d(y_m,y_n)$

por lo que

$d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m) \le d(x_n,x_m)+d(y_m,y_n)$ .

¿Puede completar ahora la prueba de que $(d(x_n,y_n))$ ¿es Cauchy?

Answer 3

Supongamos que $(x_n), (y_n)$ son Cauchy. En efecto, demostraremos que la sucesión $(r_n)=(d(x_n,y_n))$ es Cauchy, así que dejemos que $\varepsilon>0$ . Entonces existe $N\in\mathbb N$ de manera que siempre que $n,m>N$ tenemos $d(x_n,x_m), d(y_n,y_m) < \frac\varepsilon 2$ . Entonces, si $n,m>N$ tenemos $$\vert r_n-r_m \vert = \vert d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)\vert$$ $$=\vert d(x_n, y_n) - d(x_m, y_n)+d(x_m,y_n) -d(x_m, y_m)\vert$$ $$\leq \vert d(x_n, y_n) - d(x_m, y_n)\vert+\vert d(x_m,y_n) -d(x_m, y_m)\vert$$ $$\leq d(x_n,x_m)+d(y_n,y_m) < \varepsilon$$