Las matemáticas de la música: ¿por qué las ondas sinusoidales?

Question

Por supuesto, la transformada de Fourier es un método matemático extremadamente elegante y de una sencillez apabullante, lo que sitúa directamente a las ondas sinusoidales (o exponenciales complejas) en un alto pedestal.

¿Pero qué pasaría si, en lugar de eso, empezáramos a resolver la ecuación de onda de una cuerda pulsada, que a través de la solución de d'Alembert da una onda no diferenciable (inherentemente un objeto más complicado), y basáramos la teoría musical (y los armónicos, etc.) en eso?

Podríamos elegir cualquier otra base de $L^2(\mathbb{R})$ en lugar de $\sin(nx)$ , $\cos(nx)$ Como las ondas anteriores que describen el movimiento de una cuerda pulsada a varias frecuencias. ¿Qué efecto tendría esto en las matemáticas de la armonía y la resonancia en la música, si es que hay alguno? ¿Y qué pasa con las bases completamente diferentes? $\sin(nx)$ , $\cos(nx)$ base tienen alguna importancia musical, en lugar de una simpleza matemática? ¿Se merece realmente el nombre de "tono puro"? ¿Podría un espectrograma basado en una descomposición en movimientos de las cuerdas pulsadas proporcionar un ángulo diferente al de una simple descomposición por transformada de Fourier?

Editar: Una cuestión similar se plantea al considerar los modos vibratorios de una membrana circular, véase, por ejemplo este artículo de Wikipedia . Esto permite descomponer cualquier movimiento como una superposición de funciones de Bessel particulares, que sin duda se eligen por simplicidad matemática.

Answer 1

Parece que realmente quieres leer el libro de Benson Música: una ofrenda matemática (disponible gratuitamente en el enlace). No estoy del todo seguro de lo que preguntas, pero si se trata de algo parecido a "por qué es natural pensar en la música en términos de ondas sinusoidales", esta pregunta se aborda justo en la introducción:

...¿qué tienen de especial las ondas sinusoidales para que las consideremos el sonido "puro" de una determinada frecuencia? ¿Podríamos tomar alguna otra onda que varíe periódicamente y definirla como el sonido puro de esta frecuencia?

La respuesta tiene que ver con el funcionamiento del oído humano. En primer lugar, la propiedad matemática de una onda sinusoidal pura que es relevante es que es la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden para el movimiento armónico simple. Cualquier objeto sometido a una fuerza de retorno proporcional a su desplazamiento desde un lugar determinado vibra como una onda sinusoidal. La frecuencia viene determinada por la constante de proporcionalidad. La membrana basilar dentro de la cóclea en el oído es elástica, por lo que cualquier punto dado puede ser descrito por esta ecuación diferencial de segundo orden, con una constante de proporcionalidad que depende de la ubicación a lo largo de la membrana.

El resultado es que el oído actúa como un analizador de armónicos [énfasis añadido]. Si un sonido entrante puede representarse como una suma de determinadas ondas sinusoidales, entonces los puntos correspondientes de la membrana basilar vibrarán, y eso se traducirá en un estímulo enviado al cerebro.

Answer 2

Hmm, a veces se confunden los modos normales de un sistema resonante (cuerda o tubo de aire) y las señales periódicas. Las señales periódicas pueden descomponerse en una serie de Fourier con armónicos enteros. Las cuerdas vocales producen una señal casi periódica (aletas que van y vienen, pero no es una onda sinusoidal). Algunos instrumentos musicales tienen modos normales con frecuencias que son armónicas. Una cuerda perfecta tiene sobretonos armónicos. Los instrumentos de viento suelen estar diseñados para que los modos que se soplan tengan frecuencias en proporciones enteras (por ejemplo, la trompeta). Pero cuando se sopla una trompeta y se consigue que el aire de su interior resuene, se obtiene esencialmente una señal casi periódica. Lo mismo ocurre al soplar en una flauta o un didgeridu. ¿Por qué nos "gustan" las señales periódicas (o con sobretonos armónicos) y tendemos a asociarlas con la música? Es una cuestión de percepción. No hay que confundirlo con los modos normales de un sistema vibratorio o la transformada de Fourier de una señal casi periódica. Nuestros oídos y cerebros parecen tener un sistema bastante sofisticado para interpretar la voz. Así que quizá los sonidos musicales sean similares a la voz y por eso nos gustan.

Otra pregunta podría ser por qué preferimos los sonidos con intervalos musicales (armonía) o los tonos complejos (por ejemplo, una campana bien diseñada) que tienen sobretonos en proporciones enteras (intervalos musicales llamados quintas, terceras y sextas, que son tonos en proporciones de 3:2 5:4 6:5, etc.). Esto es más difícil de responder, pero puede estar relacionado con nuestra preferencia por las señales periódicas. Si se combinan dos señales casi periódicas que tienen periodicidad en una proporción de 3:2 (un intervalo de quinta), los sobretonos laten si no están afinados. Si hay una frecuencia de batido y se nota, entonces es agradable (como un vibrato) o molesto, como dos violines desafinados tocando simultáneamente.

Para complicar las cosas, resulta que en realidad no nos gusta escuchar exactamente señales periódicas. Suenan a electrónica. Como flautista puedo decir que ajusto el "volumen" no tocando más suave sino reduciendo mi vibrato para que la gente preste menos atención a mi sonido. Así que las pequeñas variaciones en la voz y las diferencias entre la periodicidad exacta son realmente importantes para los sonidos musicales.

Se preguntarán si nos gusta escuchar ondas sinusoidales puras o tonos puros. La verdad es que no, esto también suena electrónico, y en realidad bastante aburrido también (a menos que sea de alta frecuencia en cuyo caso sería bastante molesto). Como menciona Qiaochu más arriba, nuestro oído separa las diferentes frecuencias en diferentes regiones de la membrana basal. Eso significa que se disparan más neuronas si la señal es más rica (y tiene una amplia gama de frecuencias espectrales). Esto nos da más información. La información espectral se utiliza, por ejemplo, para identificar los formantes en el habla (son bandas espectrales brillantes) que varían según los sonidos vocálicos. Así que quizá nos gusten mucho las señales casi periódicas que tienen una información espectral rica (o muchos armónicos).

Para responder a su pregunta: ¿Existe una forma mejor de expandir las señales musicales que utilizar una serie de Fourier? Dado que nos "gustan" las señales casi periódicas, la serie de Fourier es probablemente el camino a seguir. Sin embargo, las ondículas ofrecen tipos alternativos de bases y se utilizan, por ejemplo, en sismología, donde hay señales que cambian rápidamente (en lugar de señales continuas casi periódicas).

Answer 3

La mayor parte de la respuesta ya se ha dado con la referencia al sistema auditivo. Disuelve el sonido en unas determinadas funciones base. No conozco una buena descripción de su comportamiento, pero las ondas sinusoidales son una buena aproximación. Así que su elección proporciona -aunque de inspiración histórica- una buena descripción de la transición del aire al cerebro.

Usted pregunta si hay otras bases, que también son útiles. Su respuesta sobre la acústica es: sí. Así que no hay razón para no utilizarlas.

Pero siempre hay que tener en cuenta: La acústica no es música. Incluso un sonido armónico puro no es música. La música no se puede describir fácilmente con fórmulas matemáticas. Depende de la acústica, la física, el entorno cultural, el estado de ánimo y muchos otros factores.

William Sethares describe en su libro "Tuning, Timbre Spectrum Scale" cómo se pueden construir escalas para instrumentos con espectros no armónicos. En este libro proporciona ejemplos en los que el análisis armónico falla desde el punto de vista musical. La música resultante puede juzgarse de forma diferente. Como tiene que pasar el cuello de botella de nuestro sistema auditivo, nunca sonará como un tubo de órgano o una flauta perfectos (ambos pueden producir ondas sinusoidales casi perfectas).

Si quieres construir una guitarra, debes tener en cuenta ambas descripciones: la cuerda pulsada y un modelo conveniente para nuestro sistema auditivo, por lo que la disolución armónica.

Sin embargo, nuestra sociedad moderna ha aceptado el temperamento igual en cierto grado. Como se ha descrito en las otras respuestas, esto coincide con el no de los espectros habituales en la música. Por lo tanto, la exactitud no es el único paradigma. Por otra parte, la historia ha demostrado que no todos los modelos matemáticos son adecuados para la música, aunque describan un determinado aspecto con gran precisión.

Answer 4

Las soluciones a la ecuación diferencial de la ecuación de onda en un tubo de tamaño limitado (básicamente todos los instrumentos de soplo: flautas, saxofones, etc.) o de cuerda (guitarra, violín, banjo, laúd, mandolina, etc.) puede resolverse más fácilmente utilizando el análisis de Fourier, que expresa la solución como sumas o series de senos y cosenos. Esto se debe a que el operador diferencial se traduce muy bien en una multiplicación con la frecuencia en el dominio de la transformada de Fourier.

Aquí está el tipo que empezó a descomponer las funciones en sumas de senos y cosenos (el método lleva su nombre La transformada de Fourier ): Joseph Fourier