Convergencia débil y fuerte en $L^p$

Question

Otra pregunta de cualidad de la práctica:

Dejemos que $X = [-\pi,\pi]$ y consideremos la medida de Lebesgue. Sea $p$ sea un número real con $1 \leq p < \infty$ . Definir para cada número entero $k \geq 1$ que $f_k(x) = \sin(kx) (x\in X)$ . Demuestra que:

a) La secuencia $\left\lbrace f_k \right\rbrace$ converge débilmente a $0$ en $L^p(X)$

b) La secuencia $\left\lbrace f_k \right\rbrace$ no converge a $0$ fuertemente en $L^p(X)$

Para la parte a, necesito demostrar que para todo $g \in L^q(X)$ que $\int_{[-\pi,\pi]} f_kg =0$ ya que el espacio dual de $L^p$ es $L^q$ . Nuestro profesor recomendó usar el Lemma de Reimann-Lebesgue, pero no veo cómo el hecho de que $\mathbb{F}(L^1(\mathbb{R}^n)) \subset C_0(\mathbb{R}^n)$ donde $\mathbb{F}$ es la transformada de Fourier ayuda en absoluto.

Para la parte b, pensaría que he terminado si puedo demostrar que el $L^p$ norma de $f_k$ no tiende a $0$ yo habría terminado. Pero, ¿cómo se integra $\int_{[-\pi,\pi]} \sin(kx)^p dx$ ?

Answer 1

En el caso de la primera, se trata simplemente del lema de Riemann-Lebesgue: Si $f\in L^q[-\pi,\pi],$ entonces $f\in L^1[-\pi,\pi].$ Por lo tanto,

$$\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin (kx)\, dx \to 0$$

por RL. Así que $ \sin (kx) \to 0$ débilmente en $L^p$ como se desee.

Para la segunda, no necesitamos evaluar la integral exactamente. En su lugar, podemos observar simplemente

$$\int_0^\pi |\sin (kx)|^p\, dx = \frac{1}{k}\int_0^{k\pi} |\sin (y)|^p\, dy = \int_0^{\pi} \vert \sin (y)\vert^p\, dy$$

para todos $k.$

Answer 2

Para la parte a): si $g\in C^1[-\pi,\pi]$ , $$ \int_{-\pi}^\pi g(t)\sin kt\,dt=\left.-\frac1k\,g(t)\,\cos kt\right|_{-\pi}^\pi+\frac1k\int_{-\pi}^\pi g'(t)\,\cos kt =\frac1k\int_{-\pi}^\pi g'(t)\,\cos kt $$ Como $g'$ es continua en el intervalo, está acotada. La integral de la derecha está, pues, acotada, por lo que el conjunto llega a cero como $k\to\infty$ .

Si ahora $g\in L^q$ es arbitraria, existe una secuencia $\{g_n\}\subset C^1[-\pi,\pi]$ con $g_n\to g$ . Entonces \begin{align} \left|\int_{-\pi}^\pi g(t)\sin kt\,dt\right| &\leq\left|\int_{-\pi}^\pi g_n(t)\sin kt\,dt\right| +\left|\int_{-\pi}^\pi (g_n(t)-g(t))\sin kt\,dt\right| \\ \ \\ &\leq \left|\int_{-\pi}^\pi g_n(t)\sin kt\,dt\right|+(2\pi)^{1/p}\,\|g_n-g\|_q \end{align} mediante el uso de Hölder (utilizando que $|\sin x|\leq1$ ). Ahora $$ \limsup_{k\to\infty}\left|\int_{-\pi}^\pi g(t)\sin kt\,dt\right| \leq(2\pi)^{1/p}\,\|g_n-g\|_q. $$ Como somos libres de elegir $n$ para hacer $\|g_n-g\|_q$ tan pequeño como queramos, $$ \lim_k\left|\int_{-\pi}^\pi g(t)\sin kt\,dt\right|=0. $$

Para la parte b): observe que, en $[-\pi/4,\pi/4]$ tenemos $\sin t\geq1/\sqrt2$ . Entonces $$ \int_{-\pi}^\pi|\sin kt|^p\,dt=\frac1k\,\int_{-k\pi}^{k\pi}|\sin t|^p\,dt\geq\frac1k\,\sum_{j=0}^{k-1}\int_{j\pi-\pi/4}^{j\pi+\pi/4}\sin^pt\,dt \geq\frac1k\,\frac{k-1}{2^{p/2}}\geq\frac1{2^{p/2}+1}. $$