El conjunto de puntos límite es cerrado en un espacio topológico general

Question

Dejemos que $(X, \mathcal{T})$ sea un espacio topológico. Me encontré con una pregunta que pedía la demostración del hecho de que el conjunto de puntos límite $S'$ de cualquier subconjunto $S \subseteq X$ es cerrado suponiendo que el espacio es Hausdorff. Sin embargo, ¿es esto siempre cierto para un espacio topológico general que no es necesariamente Hausdorff?

Espero que la respuesta sea no. Para encontrar un contraejemplo, he intentado utilizar la topología $\mathcal{T} = \{\emptyset, \{1\},\{1,2\},\{1,2,3\}\}$ en $X = \{1,2,3\}$ Sin embargo, no he podido encontrar un ejemplo de un conjunto cuyo conjunto de puntos límite no sea cerrado en este caso.

Agradecería una pista para encontrar un contraejemplo/una prueba de que no existe ninguno en lugar de una solución completa. Muchas gracias.

Answer 1

Pruebe con cualquier conjunto que tenga una cardinalidad mínima $2$ , dotado de la topología indiscreta.

Answer 2

Si $X$ es un $T_1$ espacio entonces $S'$ está cerrado.

Supongamos por contradicción que $p\in \overline {S'}$ \ $S'.$ Desde $S'\subset \bar S$ tenemos $p\in \bar S.$

Ahora $p\not \in S'$ implica que hay una $U$ con $p\in U$ y $U\cap S\subset \{p\}.$

Mais $U$ debe contener $q\in S'$ porque $p\in \overline {S'}$ y por hipótesis, $p\ne q.$ A continuación, se abre un $V$ con $q\in V$ y $p \not \in V$ porque $X$ es $T_1.$ El conjunto abierto $U\cap V$ contiene $q\in S'$ por lo que existe $r\in U\cap V\cap S$ con $r\ne q.$ PERO entonces $p\ne r\in S\cap U,$ al contrario que $U\cap S \subset \{p\}$ .

Como ya ha señalado Opn Ball, la propiedad no se cumple para la topología gruesa en $X$ si $X$ tiene al menos 2 puntos: Para $S=\{p\}\subset X$ tenemos $S'=X$ \ $\{p\}$ y $\overline {S'}=X\ne S'.$

Answer 3

Si $X$ no es $T_1$ , es posible que no funcione, como muestra el siguiente ejemplo. $X=\{a,b,c\}$ y $\tau=\{\emptyset, \{a,b\},X\}$ . Si tomamos $A=\{a\}$ puis $A'=\{b,c\}$ que no es cerrado ya que su complemento $\{a\}$ no está en $\tau$ .