Se supone que existe la filosofía de que, al menos sobre un campo de característica cero, todo "problema de deformación" está de alguna manera "gobernado" o "controlado" por una álgebra de Lie diferencial graduada. Véase, por ejemplo http://arxiv.org/abs/math/0507284
He visto esta idea atribuida a grandes nombres como Quillen, Drinfeld y Deligne, así que debe ser verdad, ¿no? ;-)
Un ejemplo de esta filosofía es la teoría de la deformación de una variedad compleja compacta: está "controlada" por el álgebra de Lie dg de Kodaira-Spencer: campos vectoriales holomorfos tensor del complejo de Dolbeault, con diferencial inducida por del-bar en el complejo de Dolbeault, y corchete de Lie inducido por el corchete de Lie en los campos vectoriales (creo que también toman el producto cuña en el lado de Dolbeault).
Creo recordar que existe un teorema general que justifica esta filosofía, pero no recuerdo los detalles, ni dónde lo escuché. El enunciado del teorema debe ser algo así como:
Sea k un campo de característica cero. Dado un funtor F: (Álgebras locales de Artin k) -> (Conjuntos) que satisface algunas condiciones naturales que debe satisfacer un "funtor de deformación", entonces existe un álgebra de Lie dg L tal que F es isomorfo al funtor de deformación de L, que es el funtor que toma un álgebra A y devuelve el conjunto de soluciones de Maurer-Cartan (dx + [x,x] = 0) en (L^1 tensor m A ) módulo de la acción gauge del (tensor L^0 m A ), donde m A denota el ideal máximo de A.
Además, creo que dicha L debería ser única hasta el cuasi-isomorfismo.
¿Alguien conoce una referencia de algo en este sentido?
También se agradecería cualquier otro buen ejemplo de casos en los que esta filosofía sea válida.
