Teoría de la deformación y álgebras de Lie graduales diferenciales

Question

Se supone que existe la filosofía de que, al menos sobre un campo de característica cero, todo "problema de deformación" está de alguna manera "gobernado" o "controlado" por una álgebra de Lie diferencial graduada. Véase, por ejemplo http://arxiv.org/abs/math/0507284

He visto esta idea atribuida a grandes nombres como Quillen, Drinfeld y Deligne, así que debe ser verdad, ¿no? ;-)

Un ejemplo de esta filosofía es la teoría de la deformación de una variedad compleja compacta: está "controlada" por el álgebra de Lie dg de Kodaira-Spencer: campos vectoriales holomorfos tensor del complejo de Dolbeault, con diferencial inducida por del-bar en el complejo de Dolbeault, y corchete de Lie inducido por el corchete de Lie en los campos vectoriales (creo que también toman el producto cuña en el lado de Dolbeault).

Creo recordar que existe un teorema general que justifica esta filosofía, pero no recuerdo los detalles, ni dónde lo escuché. El enunciado del teorema debe ser algo así como:

Sea k un campo de característica cero. Dado un funtor F: (Álgebras locales de Artin k) -> (Conjuntos) que satisface algunas condiciones naturales que debe satisfacer un "funtor de deformación", entonces existe un álgebra de Lie dg L tal que F es isomorfo al funtor de deformación de L, que es el funtor que toma un álgebra A y devuelve el conjunto de soluciones de Maurer-Cartan (dx + [x,x] = 0) en (L^1 tensor m _A ) módulo de la acción gauge del (tensor L^0 m _A ), donde m _A denota el ideal máximo de A.

Además, creo que dicha L debería ser única hasta el cuasi-isomorfismo.

¿Alguien conoce una referencia de algo en este sentido?

También se agradecería cualquier otro buen ejemplo de casos en los que esta filosofía sea válida.

Answer 1

Espero escribir más sobre esto más adelante, pero por ahora permítanme hacer algunas afirmaciones generales: hay teoremas generales a este efecto y dar dos referencias: arXiv:math/9812034, DG coalgebras as formal stacks, por Vladimir Hinich, y el artículo de estudio arXiv:math/0604504, Higher and derived stacks: a global overview, por Bertrand Toen (miren al final donde se discute el teorema de Hinich y sus generalizaciones).

La afirmación básica, si se quiere, es la dualidad de Koszul de las operadas conmutativas y de Lie en característica cero. En su forma más simple es una versión del teorema de Lie: a cualquier álgebra de Lie podemos asignar un grupo formal, y a cada grupo formal podemos asignar una álgebra de Lie, y esto da una equivalencia de categorías. La construcción general es la misma: sustituimos las álgebras de Lie por su análogo homotópico, las álgebras de Loo o las álgebras de Lie dg (las dos nociones son equivalentes --- ambas álgebras de Lie en una categoría estable oo,1). Podemos asociar a un objeto de este tipo el espacio de soluciones de las ecuaciones de Maurer-Cartan, que es básicamente el espacio clasificador de su grupo formal (es decir, el grupo formal desplazado por 1). A la inversa, a partir de cualquier pila formal derivada podemos calcular su complejo tangente desplazado (o quizás sea mejor decir, el álgebra de Lie de su espacio de bucles). Estas son equivalencias de oo-categorías si se todo correctamente. Se trata de una forma de la teoría racional de la homotopía de Quillen: pasamos de un espacio simplemente conectado al álgebra de Lie de su espacio de bucles (el álgebra de Whitehead de los grupos de homotopía de X con un desplazamiento) y viceversa.

Así que básicamente esta "filosofía", con una comprensión moderna es sólo el cálculo o la teoría de Lie: se puede diferenciar y exponer, y son equivalencias entre las teorías conmutativa y de Lie (nótese que estamos diciendo esto geométricamente, lo que significa reemplazar las álgebras conmutativas por su opuesto, es decir, los espacios apropiados -- en este caso las pilas formales). Dado que cualquier problema de deformación/módulo formal, correctamente formulado, da lugar a una pila formal derivada, se obtiene (de nuevo en característica cero) exponenciando un álgebra de Lie.

Siento ser tan esquemático, puede que intente ampliarlo más tarde, pero busca en el artículo de Toen para saber más (aunque creo que está formulado allí como una cuestión abierta, y creo que ya no lo está tanto). Una vez que ves las cosas de esta manera puedes generalizarlas también de varias maneras -- por ejemplo, sustituyendo la geometría conmutativa por la geometría no conmutativa, sustituyes las álgebras de Lie por las álgebras asociativas (ver arXiv:math/0605095 de Lunts y Orlov para esta filosofía) o pasas a la geometría sobre cualquier operada con un aumento y su dual...

Answer 2

Quizás http://arxiv.org/abs/0707.0889 ¿podría ser de ayuda? Es bastante general - las representaciones de las properadas cubren una enorme variedad de casos, desde estructuras algebraicas hasta cosas geométricas diferenciales formales.

Answer 3

Puedo ofrecer un ejemplo algebraico que generaliza el de la cohomología de Hochschild. Sea O → P un morfismo de operadas, supongamos que O tiene O(1)=k (aunque aumentada también debería ser suficientemente fuerte, creo). Entonces podemos formar una resolución cofibrante, O' de O, ésta tiene la estructura subyacente de la operada libre sobre un conjunto de generadores C, y este C tiene una estructura de cooperada.

Queremos deformar f. Pues bien, Hom(O',P) < Hom(FC,P) = Hom_S(C,P), donde las dos primeras hom están en la categoría de operadas y la última en la de colecciones. Recordemos que las colecciones subyacen a las operadas, pueden darse como funtores de la categoría de conjuntos finitos y biyecciones a espacios vectoriales.

Pero C es una cooperada y P es una operada, y este homset se parece mucho a los mapas lineales entre ellos, así que no deberíamos tener una estructura de operada de convolución. Bueno, lo tenemos, pero es sólo una operada no simétrica.

Las operadas no simétricas tienen la estructura natural de un álgebra pre-Lie, la composición se define tomando la suma de todas las formas posibles de enchufar una operación en otra. Si no has conocido las álgebras de pre-Lie, no te preocupes, ya que la antisimetría del producto de pre-Lie es un soporte de Lie. Así que nuestra operada no simétrica Hom(FC,P) tiene naturalmente la estructura de un álgebra dg-Lie.

La naturaleza de la inclusión de Hom(O',P) en Hom(FC,P) no debería sorprender. Son precisamente los elementos de Maurer-Cartan. Así que nuestro morfismo f corresponde a un elemento MC en un álgebra de dg-Lie.

Dado un elemento MC en un álgebra de Lie graduada, las deformaciones son elementos MC en el álgebra de Lie dg retorcidos por el elemento MC original.

Ejemplos

1. Sea P una operada de endomorfismo ⊕Hom(A⊗...⊗A,A), entonces la teoría anterior es la teoría de la deformación para álgebras O.
2. Sea O la operada asociativa, sea P la operada para álgebras asociativas con una acción de un alg. R conmutado por elementos centrales y un álgebra de Lie g por derivaciones con algunas condiciones de compatabilidad (en realidad por un álgebra de Lie-Rinehart, o un Lie-algebroide). Entonces la teoría de la deformación del morfismo de inclusión es el estudio de las deformaciones inducidas por las acciones del Lie-algebroide. De hecho, las álgebras de Lie implicadas son muy a menudo formales.

Answer 4

Quizás notas de Conferencias de Kontsevich son útiles.

Answer 5

Dudo en poner esto, ya que no he mirado la referencia que voy a sugerir, pero ¿qué hay de Complexe Cotangents et Deformations I & II de Illusie? Tengo la impresión de que si quiero aprender la teoría de las deformaciones, debería mirar ahí, aunque no tengo ni idea de si contiene el teorema preciso que estás buscando.