Posible patrón que implique $x$ en la continua expansión de la fracción de $\frac{1}{\sqrt[3]{x^3+1}-x}$

Question

Considere la expresión $$\frac{1}{\sqrt[3]{x^3+1}-x}$$

Enchufar $10$ para $x$ y utilizando $W|A$ encontramos que la expansión de la fracción continua es $[300; \mathbf{10}, 450, 8, ...]$ .

Para $x=11$ Es $[363; \mathbf{11}, 544, ...]$ . El patrón continúa (sólo he comprobado hasta $21$ pero asumo que es cierto) que el segundo término de la expansión de la fracción continua es $x$ .

Tengo dos preguntas:

1. ¿Por qué se produce este patrón y cómo se demuestra que se produce?
2. ¿Existe un patrón similar con los términos posteriores?

No he encontrado respuesta a la 2, y no he tenido suerte aún para la 1. Todo lo que he hecho hasta ahora es simplificarla a $x\sqrt[3]{x^3+1}+\sqrt[3]{(x^3+1)^2}+x^2$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $$\sqrt[3]{x^3+1} - x = a$$ Entonces $$a^3 + 3a^2x + 3ax^2 = 1$$ Esto demuestra que $a < \frac{1}{3x^2}$ . Ahora tenemos todo lo que necesitamos para resolver la fracción continua:

$$\begin{align*} \frac{1}{a} &= 3x^2 + a(3x + a)\\ &=3x^2 + \frac{1}{\frac{1}{a}\frac{1}{3x+a}}\\ &=3x^2 + \frac{1}{\frac{3x^2 + 3ax + a^2}{3x+a}}\\ &=3x^2 + \frac{1}{x + a\frac{2x + a}{3x+a}}\\ \end{align*}$$

Utilizando el límite superior $a<\frac{1}{3x^2}$ se puede demostrar que $a\frac{2x + a}{3x+a} < 1$ , lo que demuestra la relación que has observado.

Puede continuar este proceso para encontrar más términos de fracciones continuadas. $$a\frac{2x + a}{3x+a} = \frac{1}{\frac{1}{a}\frac{3x+a}{2x+a}}$$ De nuevo, sustituya $\frac{1}{a} = 3x^2 + 3ax + a^2$ y separar en término independiente de $a$ y plazo proporcional a $a$

Answer 2

Respuesta parcial: los ejemplos numéricos proporcionados sugieren fuertemente que la expansión de la fracción continua sería de la forma $[3x^2,x,\ldots]$ . Así que sólo tenemos que demostrar que para $x>0$ tenemos $$ 3x^2+\frac{1}{x+1} < \frac{1}{\sqrt[3]{x^3+1}-x} < 3x^2+\frac{1}{x} $$ Unas cuantas manipulaciones algebraicas sobre la desigualdad del lado derecho nos dan $$ \begin{array}{rl} \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^3+1}-x} &< \ 3x^2+\dfrac{1}{x} \\ x &< \ \left(\sqrt[3]{x^3+1}-x\right)\left(3x^3+1 \right) \\ \dfrac{3x^4+2x}{3x^3+1} &< \ \sqrt[3]{x^3+1} \\ \left(\dfrac{3x^4+2x}{3x^3+1}\right)^3 &< \ x^3+1 \\ x^3+1-\dfrac{2}{3(3x^3+1)^2}-\dfrac{1}{3(3x^3+1)^3} &< \ x^3+1 \\ \end{array}$$ lo que evidentemente es cierto (último paso por cortesía de WolframAlpha). Una derivación completamente similar muestra que la desigualdad del lado izquierdo también se cumple, y hemos terminado con (1).

Sin embargo, admito que no tengo ni idea de cómo enfocar (2).