Función del complejo de residuos

Question

He aplicado la fórmula $$\lim_{z \to i} \frac{d}{dz}{(z-z_0)^2.f(z)}$$ y sigo obteniendo un valor de 0. C

Answer 1

Una pista: Desde $f(z)$ tiene un doble polo en $z=i$ entonces vemos que \begin{align} \operatorname{Res}_{z=i}f(z)=\lim_{z\rightarrow i}\frac{1}{2}\frac{d}{dz}\left((z-i)^2\frac{z^2-1}{(z^2+1)^2}\right). \end{align}

Editar: Para que te quedes tranquilo, observa la expansión de la serie de potencias en $z=i$ de la función viene dada por \begin{align} \frac{z^2-1}{(z^2+1)^2} =&\ \frac{1}{(z-i)^2}\frac{z^2-1}{(z+i)^2} =\frac{-1}{4(z-i)^2}\frac{(z-i)^2+2i(z-i)-2}{\left(1+\frac{z-i}{2i}\right)^2}\\ =&\ \frac{-1}{4(z-i)^2}\left((z-i)^2+2i(z-i)-2\right)\sum_{k=0}^\infty(-1)^k(k+1)\left(\frac{z-i}{2i} \right)^k\\ =&\ \left(\frac{-1}{4} -\frac{i}{2(z-i)}+\frac{1}{2(z-i)^2}\right)\sum_{k=0}^\infty(-1)^k(k+1)\left(\frac{z-i}{2i} \right)^k\\ =&\ \frac{1}{2(z-i)^2}-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}i(z-i)+\text{higher order terms}. \end{align} Por lo tanto, está claro que el residuo es cero.

Answer 2

Aquí una solución con menos cálculos.

• $f(z) = \frac{z^2-1}{(z^2+1)^2} = \frac{z^2+1-2}{(z^2+1)^2}= \frac{1}{z^2+1} - \frac{2}{(z^2+1)^2} $
• $Res_{z=i}\frac{1}{z^2+1} = \lim_{z\rightarrow i}\frac{z-i}{(z-i)(z+i)}=\frac{1}{2i}$
• Para $Res_{z=i}\left(- \frac{2}{(z^2+1)^2}\right) = -2 Res_{z=i} \frac{1}{(z^2+1)^2}$ hay que calcular $$\frac{d}{dz}\frac{(z-i)^2}{(z-i)^2(z+i)^2} = \frac{d}{dz}\frac{1}{(z+i)^2}= \frac{-2}{(z+i)^3} \stackrel{z\rightarrow 0}{\longrightarrow}\frac{1}{4i}$$
• Todo junto: $$Res_{z=i}f(z) = \frac{1}{2i} - 2\cdot\frac{1}{4i} = 0$$

p.d: Puedes comprobar tus residuos con wolfram alpha. Aquí se muestra el : salida para el residuo anterior