Matrices similares para la matriz con la primera columna cero

Question

Este es un ejercicio de Álgebra de Artin, capítulo 4, ejercicio 3b:

Dejemos que $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\ \end{pmatrix}$ sea una matriz real. ¿Qué matrices con $c=0$ son similares a una matriz en la que los " $a$ "¿la entrada es cero?

Lo he intentado: Supongamos que $\begin{pmatrix}p&q\\ r&s\end{pmatrix}$ es cualquier matriz invertible. Entonces una matriz similar es $$\frac1{ps-qr}\begin{pmatrix}s&-q\\ \:-r&p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&b\\ 0&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p&q\\ r&s\end{pmatrix}=\frac1{ps-qr}\begin{pmatrix}r\left(bs-dq\right)&s\left(bs-dq\right)\\ r\left(dp-br\right)&s\left(dp-br\right)\end{pmatrix}.$$

¿Esto es todo? ¿Sólo esto es necesario para el ejercicio? o ¿puedo hacerlo mejor?

Answer 1

Sea la matriz $$ A = \begin{pmatrix} a & b\\ 0 & d \end{pmatrix} $$

Reclamación 1: Si $b\neq 0$ entonces podemos encontrar la matriz similar deseada.

Si $b\neq 0$ entonces $$ \begin{pmatrix} 1 & 0\\ \frac{a}{b} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b\\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -\frac{a}{b} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & b\\ \frac{-ad}{b} & a+d \end{pmatrix} $$ Esto demuestra la afirmación 1

Reclamación 2: Si $a\neq d$ entonces podemos encontrar la matriz similar deseada.

El polinomio característico es $p(t) = t^2 - (a+d)t + ad$ cuyo discriminante es $$ \Delta = (a+d)^2 - 4ad = (a-d)^2 \geq 0 $$ Ahora bien, si $a\neq d$ puis $\Delta > 0$ y $p(t)$ tendrá dos distintivo real raíces. En otras palabras, $A$ tendrá dos distintivo real valores propios. Así que tiene real independiente vectores propios. Esto significa que $P^{-1}A P= \Lambda$ donde $P$ es una matriz real invertible cuyas columnas son los vectores propios y $\Lambda$ es una matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los valores propios. Así, cualquier matriz $B$ que tiene la misma traza y determinante que $A$ tendrá el mismo polinomio característico y los mismos valores propios por lo que $B$ será similar a $\Lambda$ y $A, B$ será similar. Ahora dejemos que $$ B = \begin{pmatrix} 0 & x\\ y & z \end{pmatrix} $$ Entonces, eligiendo sus elementos de forma que $z = a+d$ y $ad = -xy$ nos aseguramos de que $A, B$ tendrán la misma traza/determinante y por el argumento anterior, serán similares. Esto demuestra la afirmación 2.

El único caso que queda es cuando $a = d$ y $b = 0$ . Entonces $A = aI$ . Así que para cualquier invertible $P$ tenemos $$ P^{-1}A P= P^{-1}a I P = aI PP^{-1} = aI $$ que obviamente es no similar a menos que $a = 0$ en cuyo caso nos quedamos con la matriz cero.

Para resumirlo todo, cualquier matriz que sea no de la forma $aI, a\neq 0$ hará el trabajo.

Answer 2

Se desea encontrar matrices de la forma $A=\begin{pmatrix} x \quad y \\ 0 \quad z\end{pmatrix}$ que son similares a otra matriz de la forma $B=\begin{pmatrix} 0 \quad b \\ c \quad d\end{pmatrix}$ .

Ciertamente debemos tener el mismo determinante y rastro. Así que $x+z = d$ y $xz = -bc$ . Tenga en cuenta que en el $2 \times 2$ es suficiente para determinar el polinomio característico de la matriz dada, ya que éste determina las raíces del polinomio característico, que es de grado $2$ y, por lo tanto, tendría raíces $x,z$ . Me equivoqué al decir que dos matrices con el mismo polinomio característico son similares en el $2 \times 2$ caso. Así, los valores propios de $B$ también son precisamente $x,z$ .

Ahora, por la JCF, $A,B$ son similares a sólo dos tipos de matrices: una que es diagonal con entradas $x,z$ (esto está implícito en, pero no es equivalente a $x \neq z$ ) y la otra que es triangular superior con las mismas entradas $x=z$ en la diagonal, y $1$ en la esquina superior derecha. Si $A,B$ tienen el mismo JCF, entonces serán similares.

---

Ahora, supongamos que $x \neq z$ entonces $A,B$ tendrán valores propios distintos, lo que implica que ambos tienen la diagonal JCF con entradas $x,z$ , demostrando que son similares, siempre que elijamos $d = x+z$ y $bc$ para ser cualquier entrada tal que $-bc = xz$ .

---

Supongamos que $x = z$ ahora. Observamos que si $A$ tiene un vector propio $v= (v_1,v_2)$ puis $xv_1+yv_2 = xv_1$ comparando las primeras entradas de $Av = xv$ .

De manera similar, $Bw =xw$ implica $bw_2 = xw_1$ y $cw_1 = (x-d)w_2 = -xw_2$ . Tenga en cuenta que $x = 0$ implica $A$ es ya una matriz de la forma que $B$ es, por lo que tomamos $x \neq 0$ , entonces observa que $bw_2 = xw_1$ implica de nuevo que sólo una dimensión es abarcada por un vector propio de $B$ . Así, $B$ tiene JCF como un solo bloque de Jordan.

Supongamos que $y \neq 0$ . Entonces, esto obliga a $v_2 = 0$ por lo que obtenemos un único vector propio $(1,0)$ . De ello se desprende que $A$ debe tener JCF como un único bloque de Jordan con $1$ en la parte superior derecha. Ahora, el JCF de $A$ coincide con el JCF de $B$ así que $A,B$ son similares.

Pero si $y = 0$ entonces, efectivamente $A$ es una matriz diagonal en sí misma, por lo que no tiene el mismo JCF que $B$ de todos modos, mostrando que $A,B$ no pueden ser similares.

Finalmente, la conclusión es que $y \neq 0$ o $x \neq z$ son necesarias y suficientes para $A$ sea similar a una matriz de la forma $B$ .