Las funciones Haar forman un sistema ortonormal completo

Question

Quiero demostrar que las funciones Haar en $L^2([0,1])$ forma una base ortonormal:

Dejemos que $$f = 1_{[0, 1/2)} - 1_{[1/2,0)} \ \ \mbox{,} \ \ f_{j,k}(t) = 2^{j/2}f(2^jt - k).$$ Dejemos que $\mathscr{A} = \{(j.k) : j \geq 0, k = 0, 1, 2, ..., 2^j -1\}.$ Puedo demostrar que $\ A := \{1_{[0,1]}\} \cup \{f_{j,k}: (j,k) \in \mathscr{A}\}$ es un sistema ortonormal en $L^2([0,1])$ .

(utilizando el hecho de que cada uno de ellos es compatible con $[2^{-j}k, 2^{-j}(k+1))$ y cada par diferente $i, j$ o bien tiene un soporte disjunto o bien está contenido en el otro soporte)

Quiero demostrar que $A$ está completo.

Dejemos que $g \in L^2([0,1])$ con $\left<g,f_{i,j}\right> = 0$ y $\left<g, 1_{[0,1]}\right> = 0$ para todos $(i, j) \in A.$ Demostraré que $g = 0 $ a.e. Deja $$I^l_{j,k} = [2^{-j},2^{-j}k + 2^{-j-1}), I^r_{j,k} = [2^{-j}k + 2^{-j-1}, 2^{-j}(k+1)).$$ Entonces $$f_{i,j} = 2^{-j}(1_{I^l_{i,j}} - 1_{I^r_{i,j}}).$$ Así que veo que $$\int_{I^l_{i,j}} f = \int _{I^r_{i,j}} f$$ para todos $(i,j) \in A $ y $$\int_{[0.1]} f = 0.$$

Simplemente "parece" que $f$ debe ser $0$ a.e., pero no se me ocurren razones rigurosas para que esto ocurra (cómo demostrar claramente que es cierto).

Answer 1

Un enfoque consiste en demostrar que toda función continua sobre $[0,1]$ es un límite uniforme de combinación lineal de funciones Haar. Supongamos que $\phi$ es continua, $n$ es un número entero positivo, y sea $$\psi = \sum_{j\le n, k}\langle \phi, f_{j,k}\rangle f_{j,k}$$ Por construcción, $\psi$ es una función constante a trozos; es constante en subintervalos de la forma $[2^{-n-1}k, 2^{-n-1}(k+1))$ , $k=0,\dots, 2^{n+1}$ . Afirmo que en cada uno de esos subintervalos, el valor de $\psi$ es igual a la media de $\phi$ en ese subintervalo: esto implica una convergencia uniforme, gracias a la continuidad uniforme de $\phi$ .

La prueba es por inducción. El caso base es $$\int_0^1 \psi = \int_0^1 \langle \phi, 1_{[0,1]}\rangle 1_{[0,1]} = \int_0^1 \phi$$ que se mantiene porque todas las funciones, excepto $1_{[0,1]}$ tienen media cero en $[0,1]$ . Una vez que se ha establecido que en algún intervalo diádico $I_{j,k}$ los promedios de $\phi$ y $\psi$ son iguales, considera sus mitades $I_-$ y $I_+$ Entonces $$ \int_{I_+}\psi -\int_{I_-}\psi = 2^{-j/2}\int_0^1 f_{j,k}\psi = 2^{-j/2} \int_0^1 f_{j,k}\phi = \int_{I_+}\phi -\int_{I_-}\phi $$ que junto con $$ \int_{I_+}\psi + \int_{I_-}\psi = \int_I \psi = \int_I \phi = \int_{I_+}\phi + \int_{I_-}\phi $$ implican que $\int_{I_+}\psi = \int_{I_+}\phi$ y $\int_{I_-}\psi = \int_{I_-}\phi$ .

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Esta prueba es sólo una reformulación de la construcción de Haar martingala que es una martingala diádica que converge a $f$ .