¿En qué se parece la tropicalización a la toma del límite clásico?

Question

Existe un "hecho" popular -no puedo llamarlo teorema- de que la relación matemática entre la geometría compleja y la tropical es análoga a la relación física entre la mecánica cuántica y la clásica. Creo que me enteré de esto hace años en Los hallazgos de la semana . Me pregunto si alguien puede darme una declaración matemática precisa de este "hecho". O a la introducción correcta a las matemáticas tropicales.

Puedo hacer el principio. En la mecánica clásica, a grandes rasgos (más abajo mencionaré algunas formas en las que lo que voy a decir es falso), cuando un sistema transita de una configuración a otra, toma el camino que minimiza alguna "acción" (esta idea se remonta al menos a Maupertuis en 1744, y Wikipedia da análogos griegos antiguos). Así, para que un sistema pase del estado $A$ al estado $C$ en dos segundos, después de un segundo está en el estado $B$ que minimiza la suma de la acción para llegar de $A$ a $B$ más la acción para llegar desde $B$ a $C$ . Por comparación, la mecánica cuántica asigna al par $A,B$ una "amplitud", y la amplitud para pasar de $A$ a $C$ en dos segundos es la suma de todos los $B$ de la amplitud para pasar de $A$ a $B$ veces la amplitud para pasar de $B$ a $C$ . (Este es el principio básico de la mecánica matricial de Heisenberg.) De todos modos, podemos entender ambas situaciones dentro del mismo lenguaje considerando la una matriz, indexada por estados, rellenada con las acciones o las amplitudes de transición. En el caso cuántico, la multiplicación matricial es la heredada de la habitual $(\times, +)$ aritmética en $\mathbb{C}$ . En el caso clásico, es el $(+, \min)$ aritmética del anillo tropical $\mathbb{T}$ .

Seamos más precisos. Para cualquier camino a través del espacio de configuración de su sistema, Hamilton define una acción $\operatorname{Action}(\mathrm{path})$ . Las trayectorias clásicamente permitidas son las trayectorias críticas de la acción (valores límite rel.), mientras que si se cree en la integral de trayectorias, la amplitud cuántica es $$\int \exp\left(\frac{i}{\hbar} \operatorname{Action}(\mathrm{path}) \right) \mathrm{d}(\mathrm{path}),$$ donde la integral abarca todas las trayectorias con valores límite prescritos y la medida $\mathrm{d}(\mathrm{path})$ no existe (he dicho "si"). Aquí $\hbar$ es la constante de Planck reducida, y la aproximación en fase estacionaria deja claro que como $\hbar$ va a $0$ la integral se apoya en las trayectorias clásicamente permitidas.

Por supuesto, la integral de trayectoria no existe, así que describiré un tercer (y más riguroso) ejemplo, esta vez en mecánica estadística, no cuántica. Sea $X$ sea el espacio de posibles configuraciones de su sistema, y digamos que $X$ tiene una medida natural $\mathrm{d}x$ . Sea $E : X \to \mathbb{R}$ sea la energía de una configuración. Entonces, a la temperatura $T$ la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado $x$ es (sin normalizar) $\exp(-(kT)^{-1} E(x))$ Con esto quiero decir que si $f : X \to \mathbb{R}$ es una función cualquiera, el valor esperado de $f$ es (ignorando los problemas de convergencia; digamos que $X$ es compacto, o $E$ crece rápidamente y $f$ no lo hace, o...):

$$\langle f \rangle_T = \frac{\int_X \exp(-(kT)^{-1} E(x)) f(x) \mathrm{d}x}{\int_X \exp(-(kT)^{-1} E(x)) \mathrm{d}x}$$

Aquí $k$ es la constante de Boltzmann. Está claro que a medida que $T$ va a $0$ la integral anterior se concentra en el $x$ que minimizan $E$ . En la tierra tropical, la adición y, por tanto, la integración es sólo una minimización, por lo que en el $T \to 0$ límite, la integral se convierte en una especie de integral "tropical".

Estos son algunos de los problemas que estoy teniendo:

1. Cuando se enfría lentamente un sistema, no necesariamente se asienta en el estado que minimiza globalmente la energía, sólo en un estado localmente mínimo. Y menos mal, porque si no, no habría tabletas de chocolate.
2. Los problemas son peores para los mecánicos. Las trayectorias clásicas permitidas ni siquiera son necesariamente mínimos locales, sino puntos críticos de la función de acción, por lo que la analogía entre los sistemas cuánticos y los cálidos no es perfecta. ¿Existe algo así como $\min$ que encuentra los puntos críticos en lugar de los mínimos?
3. En términos más generales, la integral de trayectoria es muy atractiva, y definitivamente describe una "matriz", indexada por el espacio de configuración. Pero para los sistemas genéricos, conectando dos configuraciones cualesquiera hay muchas trayectorias permitidas clásicamente. Así que cualquiera que sea el análogo clásico de la mecánica matricial, es una matriz valorada en conjuntos (o conjuntos con funciones al anillo tropical), no sólo en números tropicales.
4. Aparte de "tomar sus ecuaciones y reemplazar cada $+$ con $\min$ y cada $\times$ con $+$ ", no sé realmente cómo "tropicalizar" un objeto matemático.

Answer 1

La analogía que he elaborado a partir de trozos de aquí y de allá va así:

utilizando el logaritmo y la exponencial, definimos para dos números reales x e y la siguiente operación binaria $x §_h y := h .ln( e^{x/h} + e^{y/h} )$ que depende de algún parámetro real positivo $h$ . Entonces observamos que como $h \rightarrow 0$ el número $x §_h y$ tiende a $max(x,y)$ . (Demostración: supongamos sin pérdida de generalidad que $x>y$ Así que $(y-x)/h <0$ . Pero como $h. ln( e^{x/h} + e^{y/h} ) = h. ln( e^{x/h} . (1+e^{(y-x)/h} )$ como $h \rightarrow 0$ tendemos a $h. ln (e^{x/h} . (1+0) ) = x = max(x,y)$ . QED).

Ahora bien, en la mecánica cuántica las relaciones de conmutación canónicas entre los operadores de posición y de momento son las siguientes $[x_u,p_v] = i \hbar \delta_{uv}$ y en el límite $\hbar \rightarrow 0$ esos conmutadores tienden así a $0$ que dice que recuperamos la mecánica clásica donde todo conmuta. Y en la mecánica cuántica lo que importa son las funciones de onda que son superposiciones de cosas de la forma $A.e^{iS/\hbar}$ donde $A$ es alguna amplitud y $S$ alguna fase (la acción del camino).

Volviendo a $§_h$ podemos reescribir $e^{(x §_h y)/h } = e^{x/h}+ e^{y/h}$ y ahí está su analogía: la operación matemática tropical max(,) es una especie de límite clásico de la operación (por tanto, cuántica) +.

Answer 2

He iniciado una página en nLab - mecánica matricial - con enlaces a debates sobre esta idea.

Answer 3

Creo que en cuanto a (1) estás mezclando un muy pequeño clase de problemas físicos exactamente definidos con un número muy pequeño de grados de libertad, que de hecho se describe mediante cosas como ecuaciones, con los grandes sistemas físicos, como mundo real La mayoría de sus propiedades no pueden decirse en términos de "esa ecuación hace esto, esta variable va allí, etc.".

Por eso las barras de chocolate son sabrosas. Teóricamente, todos acabarán por desaparecer . Consíguelos mientras puedas.

(2) Sí y no. En la mecánica cuántica hay que hacer una suma sobre todas las trayectorias clásicas, pero la respuesta puede describirse a menudo de forma más sencilla, por ejemplo, como en el caso más simple de la teoría de perturbaciones, como una expansión de diagramas.

Answer 4

Creo que las preguntas de matemáticas y física aquí son suficientemente diferentes.

No estoy familiarizado con la geometría de los trópicos, pero he buscado y he encontrado una introducción muy legible en math.CO/0408099 .