Validación de una prueba de que las potencias de 2 no pueden ser una suma de enteros positivos consecutivos

Question

He comprado un libro de rompecabezas matemáticos. Contenía un rompecabezas resumido como si una persona estuviera leyendo un libro. Se les pide que sumen las páginas que acaban de leer. Se trata de $412$ o $512$ . ¿Cuál es?

He forzado la respuesta con excel porque no sabía que la suma de enteros consecutivos no podía ser una potencia de dos. Encontré que los valores eran 8 enteros consecutivos empezando por $48$ . $(48 + ... + 55 = 412)$ . En fin... También forcé mi camino al hecho de que

$$\sum_{i=0}^n i = \frac {n(n + 1)}{2}$$

La prueba en la parte de atrás dice que si empiezas en $m + 1$ y terminan en $n$ ( $\sum_{i=m+1}^n i$ ) que la solución sería

$$\frac {n(n+1)}{2} - \frac{m(m+1)}{2}$$

Esto no me parece correcto en absoluto. Supongo que puede depender de cómo lo mires, pero si asumes que m es la posición inicial, $48$ en este caso, empezaría como $m + 1$ y ser m menos que la suma $(364)$ .

Tuve otros problemas que descubrí mientras escribía esto, pero los resolví, pero no puedo determinar por qué $m + 1$ se utiliza. No es que esto sea codificación y sea una posición de array que se usa como otra cosa. Supongo que esto puede ser uno de los matices de las pruebas que llevará algún tiempo aprender, o puede ser completamente aleatorio y erróneo... No lo sé. Cualquier ayuda se agradece mucho.

Answer 1

Si es posible, entonces $$\frac{n(n+1)}{2}-\frac{m(m+1)}{2}=2^{k-1}$$ o $$(n-m)(n+m+1)=2^k,$$ donde $k$ es un número natural y como $n-m+n+m+1$ es impar, obtenemos $n-m=1$ ,

$m=2^{k-1}-1$ que dice que no tenemos más que un número en nuestra suma.

Answer 2

La suma de los números

$$ 0,1,\dots,m,m+1,\dots, n $$

es

$$ \frac{n(n+1)}{2} $$

La suma de los números

$$ 0,1,\dots,m $$

es

$$ \frac{m(m+1)}{2} $$

Por lo tanto, la suma de los números $$ m+1,\dots,n $$ es $$ \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m+1)}{2} $$