Probablemente haya que explicar la definición del título. Debo decir que la pregunta en sí fue una idea que tuve para el proyecto de investigación de grado de otra persona, pero decidimos desde el principio que sería mejor para él intentar preguntas adyacentes y menos técnicas. Así que no tiene importancia para mi propio trabajo en sí, pero me interesaría saber si se reduce fácilmente a una conjetura/hecho/contraejemplo conocido en teoría de números.
Pido disculpas si la pregunta es demasiado técnica/localizada/desconocida/desprovista de esquemas.
Dado un subconjunto $X$ de los números naturales $N$ y dado $n \in N$ escribimos $X-n$ para la traducción hacia atrás de $X$ , es decir, el conjunto { $\{x-n : x\in X\}$ }.
Decimos que $X$ es traducción-finito si tiene la siguiente propiedad: para toda secuencia estrictamente creciente n 1 < n 2 < en $N$ existe k (posiblemente dependiendo de la secuencia) tal que
$(X-n_1) \cap (X-n_2) \cap \dots\cap (X-n_k)$
es finito o vacío.
Por lo tanto, todo conjunto finito es trivialmente finito de traslación: y si los elementos de $X$ forman una secuencia en la que la diferencia entre términos sucesivos tiende a infinito, entonces $X$ es de traducción definida y siempre podemos tomar k=2. Además:
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si $X$ contiene una progresión aritmética infinita, o si tiene densidad de Banach positiva (superior), entonces NO es finito de traslación;
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existen conjuntos definidos por traslación que, cuando se enumeran como secuencias estrictamente crecientes, crecen más lentamente que cualquier función más rápida que la línea.
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existen conjuntos definidos por traslación que contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas.
Estos resultados sugieren la pregunta del título, pero no sé lo suficiente sobre teoría de números para saber si es una pregunta razonable. Obsérvese que si, en la definición, fijamos primero k (es decir, existe k tal que para cualquier secuencia (n j )...) entonces obtendríamos algo relacionado con las conjeturas de Hardy-Littlewood; pero esperaba que esto no fuera necesario para resolver la presente cuestión.
EDITAR (2 de noviembre) Se ha señalado más adelante que la cuestión se reduce en cierto sentido a un par de problemas conocidos, difíciles y abiertos. Más concretamente: si la respuesta a la pregunta es afirmativa, entonces refutamos la conjetura de las k-tuplas de Hardy-Littlewood; si la respuesta es negativa, entonces hay infinitos huecos primos limitados por alguna constante absoluta, y se cree que esto está más allá de las técnicas actuales, a menos que se asuma la conjetura de Eliott-Halberstam.
Añadido en 2013: Stefan Kohl señala que esto último es El famoso resultado reciente de Yitang Zhang . Sin embargo, como señala Will Sawin en los comentarios, una respuesta negativa a la pregunta principal implicaría que hay configuraciones de 3 pares que se dan con una frecuencia infinita en los primos, y (véase el enlace en el comentario de Will) se cree que esto está fuera de nuestro alcance incluso si asumimos que la conjetura de EH se mantiene.
