¿Son los diagramas de un carcaj lo mismo que los pequeños diagramas

Question

Acabo de empezar a entender la teoría de las categorías, y me he encontrado con dos definiciones (desde mi punto de vista no obviamente equivalentes) de un diagrama (pequeño) en una categoría $\mathcal{C}$ :

Definición 1 ( Brandenburgo Definición 2.4.3):
Definir un carcaj $\Gamma$ como un par de conjuntos $(V,E)$ equipado con dos funciones $s,t: E \rightarrow V$ . A diagrama $D$ en una categoría $\mathcal{C}$ consta de los siguientes datos:

• para cada $v \in V$ un objeto $D(v) \in \mathcal{C}$ .
• para cada $e \in E$ un morfismo $D(e): D(s(v)) \rightarrow D(t(v))$ .

Definición 2 (prácticamente en todo lo demás, por ejemplo aquí ):
A diagrama $D$ en una categoría $\mathcal{C}$ es simplemente un functor de una categoría pequeña $I$ a $\mathcal{C}$ .

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Soy consciente de que un carcaj es algo más general que una categoría pequeña en el sentido de que es un " categorías pequeñas con morfismos de identidad y composición olvidada. " Para ello Definición 1 puede verse como una generalización de Definición 2 .
Por otro lado, se puede definir el diagrama libre de un carcaj haciendo $\Gamma$ a un categoría libre primero y entonces proceder con Definición 1 .

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Mi pregunta ahora es

Es un diagrama de un carcaj ( Definición 1 ) en realidad es equivalente a un diagrama de una categoría pequeña ( Definición 2 ) o es una verdadera generalización?

En caso afirmativo, ¿qué gano con esta generalización? ¿Se trata de una generalización por el mero hecho de generalizar las cosas o hay realmente situaciones en las que Definición 2 ¿es necesario?

Answer 1

Como ha señalado, estas definiciones son más o menos la misma, considerando el carcaj subyacente y la categoría libre generada.
Sin embargo, condiciones de conmutatividad no se puede plantear como parte del "diagrama con la definición 1, mientras que si por ejemplo $fg=uv$ en una categoría pequeña $I$ debe valer también para sus imágenes, bajo un functor arbitrario.
En este sentido, la definición 2 es la más fuerte, y se convirtió en la norma.

Sin embargo, Brandenburg podría haber tenido una razón para separar las nociones de diagramas y funtores (de una pequeña categoría). Una de esas razones puede ser la de distinguir la sintáctica y la semántica para el lenguaje de las categorías.

Considere esta tercera definición mixta:
Definición 3 Un diagrama abstracto es un carcaj $\Gamma$ con un conjunto $P$ de las "condiciones de conmutatividad", es decir, de los pares de trayectorias con un punto inicial y final común.
A diagrama de la forma $(\Gamma,P)$ en la categoría $\mathcal C$ es entonces un morfismo de quivers $D:\Gamma\to\mathcal C$ tal que $D(p)=D(q)$ para cada $(p, q)\in P$ .

Así, por ejemplo, un "cuadrado" y un "cuadrado conmutativo" son dos diagramas abstractos diferentes sobre el mismo carcaj.

Aunque la definición 3 podría ser más adecuada en cierto sentido, en la práctica es tan eficaz como la definición 2, que es mucho más sencilla de trabajar.

Answer 2

Es cierto que el término "diagrama" es polisémico en matemáticas. Las dos definiciones que has mencionado son válidas (y hay muchas otras). Todas estas definiciones están relacionadas, pero yo no diría que una de ellas es una generalización estricta de otra.

La definición 1 es simplemente un morfismo de quivers, es decir, un mapeo, que preserva la estructura del quiver. Los quivers con tales morfismos constituyen una categoría, que podemos denotar por $\mathbf{Quiv}$ . La definición 1 es actual cuando hablamos de quivers.

La definición 2 es simplemente un functor. La pequeñez de la categoría de dominio es necesaria para evitar problemas de teoría de conjuntos (es decir, queremos que la categoría de todos esos diagramas "sea una categoría"). La definición 2 es actual cuando hablamos de categorías y construcciones categóricas, especialmente cuando utilizamos categorías de funtores (o "categorías de diagramas") y construcciones universales.

La conexión entre estas definiciones puede expresarse de la siguiente manera: el functor de olvido $U\colon\mathbf{Cat}\to\mathbf{Quiv}$ tiene un adjunto izquierdo $F\colon\mathbf{Quiv}\to\mathbf{Cat}$ que envía cada temblor $Q$ a la categoría libre $F[Q]$ generada por ella. Por lo tanto, existe un isomorfismo canónico $$ \hom_{\mathbf{Cat}}(F[Q],C)\cong\hom_{\mathbf{Quiv}}(Q,U(C)), $$ lo que significa que los funtores $F[Q]\to C$ corresponden naturalmente a morfismos de quivers $Q\to U(C)$ . Así que, en cierto sentido, la Def.1 es equivalente a la Def.2 en el caso de que el quiver del codominio sea un quiver subyacente de una categoría. Esta equivalencia puede utilizarse para definir fácilmente funtores a $C$ cuando sólo tenemos morfismos de quivers a $U(C)$ .