Recientemente he empezado a estudiar geometría algebraica, ya que vengo de una formación en geometría diferencial. Parece que existe un profundo vínculo entre las variedades complejas y los colectores complejos. Por ejemplo, a menudo se oye decir que son dos formas diferentes de ver la misma cosa. ¿Puede alguien dar una declaración precisa de esta relación?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El artículo de la Wikipedia es más técnico de lo que debería, y para el lector apurado no está del todo bien escrito. He aquí un resumen de los puntos principales, tal como yo los entiendo:
Las variedades complejas son análogas a las variedades algebraicas complejas lisas, no a las singulares. Pero esa discrepancia es superable, porque también se pueden tener variedades analíticas complejas que pueden tener singularidades similares. Entonces la primera y más importante relación es que toda variedad algebraica compleja es una variedad analítica compleja. Todo conjunto abierto de Zariski es analíticamente abierto; los mapas de encolado analíticos son más generales que los algebraicos; y los gráficos analíticos permitidos son más generales que los gráficos algebraicos permitidos. También todo morfismo algebraico es un morfismo analítico, por lo que se obtiene un morfismo entre categorías.
Pero la conexión es mejor que eso debido al principio GAGA (globalmente analítico implica globalmente algebraico). Mi comprensión de GAGA es muy incompleta, pero creo que lo siguiente es correcto. Entre otras consecuencias de GAGA, una subvariedad analítica cerrada de una variedad algebraica propia (equivalente a compacta) es algebraica. Un isomorfismo analítico entre dos variedades algebraicas propias es algebraico. Supongo que también existe un principio similar para las fibrillas compactas.
Así que, si haces variedades analíticas compactas algebraicamente, no puedes escapar de la clase algebraica algunas de las principales construcciones de las variedades complejas no escapan a la clase algebraica. (Pero no todas: las deformaciones y las acciones de grupo infinitas pueden escapar.) Todas las variedades analíticas proyectivas son algebraicas, y en dimensión 1 todas las curvas compactas son proyectivas. Además, hay formas limitadas para que una variedad analítica compacta evite ser proyectiva, por el teorema de Moishezon y el teorema de Kodaira. En la práctica, pues, la mayoría de las variedades complejas que se hacen son algebraicas. Además, la mayoría de los cálculos analíticos en una variedad algebraica propia son algebraicos: muchos cálculos globales son algebraicos por GAGA, y muchos cálculos locales son algebraicos simplemente truncando las series de Taylor.
Contrasta todo esto con la algebraica real frente a la analítica real. Sigue siendo cierto que (los puntos reales de) una variedad algebraica real lisa es una variedad analítica real. Más fuertemente que en el caso complejo, aunque es altamente no trivial, toda variedad analítica real compacta es real algebraica. Pero la estructura algebraica real es masivamente no única, incluso para un círculo, y eso marca la diferencia.
Los otros contestadores de este hilo, que son más expertos que yo en este tema, tenían más información sobre por qué una variedad compleja compacta podría no ser una variedad proyectiva lisa. Sólo por claridad, limitaré la atención al caso compacto y liso. Además, se dice "propia" en lugar de "compacta" en la categoría algebraica porque toda variedad algebraica es "compacta" en la topología extremadamente gruesa de Zariski. Una variedad algebraica es propia si y sólo si es analíticamente compacta. El uso principal de la palabra propia es para enfatizar que es más general que la proyectiva, que significa dada por ecuaciones polinómicas en el espacio proyectivo complejo.
Hay dos razones iniciales muy diferentes por las que una variedad compleja analítica podría no ser proyectiva. Podría no ser Moishezon: Un complejo $n$ -es Moishezon si tiene $n$ funciones meromorfas algebraicamente independientes. (El número de elementos algebraicamente independientes o el grado de trascendencia de un campo se denomina dimensión de Krull. La dimensión de Krull meromorfa de un complejo compacto $n$ -es como máximo $n$ .) O puede que no sea Kähler: Un complejo $n$ -es Kähler si tiene una métrica riemanniana tal que la derivada covariante de la estructura compleja desaparece. Así que para resumir lo que la gente dijo sobre las variedades complejas compactas (gran parte de lo cual está en la parte posterior del libro de Hartshorne):
proyectivo ⇒ algebraico ⇒ Moishezon ⟺ bimeromórfico proyectivo
proyectivo ⇒ Kähler ⇒ simpléctico ⇒ no nulo $H^2$
algebraico ⇒ distinto de cero $H^2$ ( expuesto por David Speyer)
Moishezon y Kähler ⟺ proyectivo (Moishezon)
Kähler y integralmente simpático ⟺ proyectivo (Kodaira)
Además, la estructura proyectiva y algebraica y la propiedad de Moishezon son todas inestables con respecto a la deformación analítica. Y la equivalencia bimeromórfica preserva $\pi_1$ . Taubes encontró colectores complejos compactos que tienen el $\pi_1$ ser Kähler; de hecho pueden tener cualquier $\pi_1$ . Voisin encontró que las variedades compactas de Kähler con un tipo de homotopía erróneo son proyectivas, refutando la conjetura de Kodaira de que toda variedad compacta de Kähler puede ser deformada a proyectiva. Y, en el campo de la izquierda, una estructura compleja invariante a la izquierda (LICS) en un grupo de Lie simple compacto es una variedad compleja compacta que no tiene $H^2$ y también se puede conectar de forma sencilla.
Sin embargo, a pesar de estas hermosas variedades complejas compactas no proyectivas, generalmente es más fácil estudiar ejemplos proyectivos. En general, es más fácil evitar el análisis y hacer álgebra en su lugar.
DavLink
Puntos
101
Nadie parece haber mencionado que si una variedad compleja es una variedad algebraica, entonces tiene una buena compactación. Más concretamente, según Hironaka, puede incrustarse en una variedad compacta tal que la frontera es un divisor con cruces normales.
En dimensión 1, ésta es la única condición: una superficie de Riemann es una curva algebraica si y sólo si se puede compactar añadiendo un número finito de puntos. En particular, las funciones holomorfas acotadas sobre ella son constantes (así, el semiplano superior complejo no es una curva algebraica porque z-i/z+i es una función holomorfa acotada).
Así, los dos principales obstáculos para que una variedad compleja sea una variedad algebraica (o, al menos, un espacio algebraico) son que puede no tener una buena compactación (en el sentido anterior) y que puede no tener suficientes funciones meromorfas.
Decir que una variedad compleja es una variedad algebraica es una afirmación muy fuerte.
winsql
Puntos
389
Aunque todas las variedades algebraicas son analíticas complejas, lo contrario dista mucho de ser cierto.
Si $M$ es una variedad compleja compacta, entonces $a(M)$ la dimensión algebraica de $M$ se define como el grado de trascendencia de $\mathbb C(M)$ en $\mathbb C$ , donde $\mathbb C(M)$ es el campo de las funciones meromórficas sobre $M$ .
La dimensión algebraica es como máximo la dimensión de $M$ y cuando la igualdad se mantiene $M$ se llama espacio de Moishezon. En general lo que se tiene es una variedad $\hat M$ con $\dim \hat M = \dim M$ , una variedad proyectiva $N$ con $\dim N = a(M)$ y morfismos analíticos $\pi : \hat M \to M$ y $\varphi : \hat M \to N$ tal que
- $\pi$ es bimeromorfo;
- la fibra genérica de $\varphi$ es irreducible;
- el campo de las funciones meromórficas sobre $M$ es el mismo que el de $N$ . Más concretamente: $\varphi^* \mathbb C(N) = \pi^* \mathbb C ( M)$ .
También hay que señalar que desde el punto de vista topológico hay muchas más variedades complejas compactas que variedades algebraicas compactas. Para ser más precisos, existen fuertes restricciones en el grupo fundamental de las variedades compactas de Kähler, mientras que existe un profundo resultado de Taubes que implica que todo grupo finitamente generado es el grupo fundamental de un complejo compacto $3$ - doble.
Motivado por los comentarios sobre la respuesta de Kuperberg, permítanme mencionar también que había una conjetura de Kodaira que afirmaba que cualquier variedad compacta de Kähler es equivalente por deformación a las variedades proyectivas. Aunque la conjetura es cierta en dimensión dos, como el propio Kodaira ha Kodaira, ha sido refutada recientemente por Claire Voisin.
Las variedades complejas compactas que no son algebraicas no son bestias artificiales. Permítanme recordar un ejemplo muy natural de naturaleza algebraica. Consideremos el cociente $X=SL(2,\mathbb C)/\Gamma$ , donde $\Gamma$ es un subgrupo discreto cocompacto. Creo que fue Mostow quien demostró que $X$ no tiene hipersuperficies analíticas, lo que implica en particular $a(X)=0$ . Para ver que $X$ está lejos de ser una variedad algebraica, a pesar de estar definida algebraicamente, nótese que hay $1$ -forma en $SL(2,\mathbb C)$ que son invariantes por traslaciones a la derecha y que no son cerradas. Así que inducen holomorfos globales $1$ -en el cociente $X$ que no están cerradas. Pero en las variedades compactas de Kähler, y más generalmente en variedades compactas bimeromorfas a ellas, toda holomorfa $1$ -el formulario está cerrado.
Zack Peterson
Puntos
19350
El teorema de la incrustación de Kodaira afirma que una variedad compleja compacta es proyectiva -y por tanto algebraica según el teorema de Chow- si y sólo si tiene una estructura de Kaehler con clase integral de Kaehler. Las variedades de Kaehler son simplécticas, y la clase integral de Kaehler significa que la clase de cohomología de la forma simpléctica correspondiente $\omega$ vive en la segunda cohomología con $\mathbb{Z}$ coeficientes. Obsérvese que la clase Kaehler de una colector Kaehler debe ser distinta de cero, porque el volumen simpléctico $\int_X \omega^{n}$ debe ser distinto de cero.
Así que tal vez una forma de encontrar cosas compactas que no sean Kaehler y no sean proyectivas sea buscar cosas con segunda cohomología nula, porque entonces ni siquiera serían simplécticas. ¿Quizás haya ejemplos de variedades tóricas compactas que satisfagan esto?
Rick H
Puntos
27
No hay suficiente espacio aquí para escribir la respuesta a su pregunta. Sin embargo, puedes echar un vistazo al apéndice de Hartshorne y, si tienes tiempo, una referencia clásica es Griffiths y Harris: Principles in algebraic geometry. Sin embargo, a grandes rasgos, el concepto de positividad te dirá cuándo una variedad compleja compacta de Kahler es algebraica.
