¿De cuántas maneras podemos ordenar las letras F, G, H, I y J de forma que tres letras consecutivas estén en orden alfabético?

Question

La repetición no está permitida. También debo añadir que la ubicación de las tres letras consecutivas en el arreglo no importa. Pueden estar al principio, en medio o al final del arreglo.

Por ejemplo, el arreglo G|I|J|F|H es un arreglo válido porque G, I, J están en orden alfabético y J|F|G|H|I también es un arreglo válido porque G, H e I están en orden alfabético.

Sé que el número total de arreglos sin tener en cuenta que tres letras están en orden alfabético es $5!$ pero tengo problemas para derivar los arreglos que sí siguen la restricción del $5!$ .

Estoy pensando que tal vez podría seleccionar primero las posiciones para las tres letras secuenciadas alfabéticamente y luego colocar la otra, pero no estoy seguro.

Answer 1

Entre cada par de letras consecutivas en cualquier disposición, pon un $+$ si están en orden alfabético y $-$ de lo contrario. Esto produce una secuencia de cuatro signos. Buscamos el número de arreglos con $++$ en alguna parte:

• Supongamos que $++$ aparece en el centro, es decir, las tres letras centrales están en orden creciente. Hay $\binom53=10$ maneras de elegir esas letras y 2 maneras de colocar las letras restantes, lo que da 20 arreglos en total.
• Supongamos que $++$ no está en el centro. Entonces la secuencia de signos comienza con $++-$ o termina con $-++$ . Hay 3 $++-$ patrones de permutación (1243, 1342, 2341) y para cada patrón hay 5 opciones para la letra que no está involucrada en ese patrón, lo que da 15 formas para la $++-$ caso de inicio. Por simetría, también hay 15 formas para el $-++$ caso final.

Esto da como resultado $20+15+15=50$ acuerdos admisibles.

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El número de permutaciones de $\{1,\dots,n\}$ con 3 términos consecutivos en orden creciente viene dado por OEIS A065429 . El complemento en los factoriales, el número de permutaciones sin esta propiedad, es OEIS A049774 .