Me pregunto si existen homomorfismos continuos y subjetivos $\text{Homeo}(S^n) \to \mathbb{R}$ para cualquier $n$ ? ¿Y si se suprime la condición de continuidad de la suryección?
Del mismo modo, me gustaría saber las respuestas a las mismas preguntas con $\text{Homeo}(S^n)$ sustituido por $\text{Diff}(S^n)$ .
Consideremos el caso del grupo de difeomorfismos $Diff(S^n)$ (que entiendo que es $C^\infty$ con $C^\infty$ topología). El componente de identidad $Diff_0(S^n)$ se sabe que es perfecta, es decir, que tiene una abelianización trivial. No estoy seguro de quién fue el primero en demostrarlo, pero para las variedades arbitrarias esto se debe a Thurston. Véase aquí una breve demostración:
K. Mann, Una breve prueba de que $Diff_c(M)$ es perfecto , New York Journal of Mathematics, 22 (2016) p. 49-55.
El grupo cociente $\Gamma_n=Diff(S^n)/Diff_0(S^n)$ se sabe que es finito si $n\ne 4$ (Kervaire y Milnor para $n\ge 5$ Cerf para $n\le 3$ ( $\Gamma_n\cong {\mathbb Z}/2$ pour $1\le n\le 3$ ). En particular, todo homomorfismo a $Diff(S^n)\to {\mathbb R}$ es trivial.
No estoy seguro de cuánto se sabe en la dimensión 4 (creo que la finitud es desconocida), pero es como mucho contable (ver más abajo). Por lo tanto, $Diff(S^4)$ tiene a lo sumo una abelianización contable y, por tanto, no puede tener un epimorfismo a ${\mathbb R}$ o bien.
En cuanto al grupo de homeomorfismos, como señaló Yves (YCor), en su apéndice a
D. Calegari y M. Freedman, Distorsión en los grupos de transformación Geometría y Topología, 2006
se ha demostrado que $Homeo(S^n)$ está fuertemente acotado, es decir, siempre que actúa isométricamente sobre un espacio métrico, tiene órbitas acotadas. Dado que un homomorfismo $Homeo(S^n)\to {\mathbb R}$ definiría una acción isométrica (por traslaciones) sobre la recta real, se deduce que todo homomorfismo de este tipo es trivial.
Editar.
Lema. Si $M$ es una variedad compacta y lisa, entonces $Diff(M)$ (con su $C^\infty$ -) es separable, es decir, contiene un subconjunto denso contable. En particular, $Diff(M)$ tiene (como máximo) un número contable de componentes. En otras palabras, $Diff(M)/Diff_0(M)$ es (como máximo) contable.
Prueba. $Diff(M)$ es un subespacio de $C^\infty(M,M)$ . Por lo tanto, basta con demostrar la separabilidad de este último. Incrustar $M$ (suavemente) en algunos ${\mathbb R}^N$ . Entonces $C^\infty(M,M)\subset C^\infty(M, {\mathbb R}^N)$ . Por lo tanto, basta con demostrar la separabilidad de este último. Dado que $C^\infty(M, {\mathbb R}^N)$ es una suma directa de $N$ copias de $C^\infty(M)$ basta con demostrar que esta última es separable. Por (una versión de) el Teorema de Aproximación de Weierstrass, véase por ejemplo
Capítulo 1 en "Approximation of Continuously Differentiable Functions", volumen 130 de North-Holland Mathematics Studies, 1986.
Las restricciones de las funciones polinómicas son densas en $C^\infty(M)$ . Por último, los polinomios con coeficientes racionales son densos entre las funciones polinómicas (donde el $C^\infty$ -se entiende que la topología es uniforme en los compactos). La separabilidad se deduce. qed
Observación. Separabilidad de $C^\infty(M)$ para las variedades lisas debería ser una referencia estándar en los libros de texto, pero no he podido encontrar ninguna (con una prueba). Hirsch, en su "Differential Topology", lo afirma sin prueba. Una prueba podría estar en uno de los libros de P.Michor...
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
