Dado un par de enteros relativamente primos $m$ y $n$ con $|m| + |n| > 1$ , puedo encontrar siempre números enteros $a$ y $b$ tal que am + bn = $\pm$ 1 y $|m| + |n| > |a| + |b|$ .
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No es difícil demostrar que cada número entero puede expresarse de forma única en la forma $ma+nb$ con $a\in\{0,1,2\dots |n|-1\}$ . Esta es la expresión que queremos. Sólo tenemos que demostrar que $|b|\leq m$ .
suponga que no, entonces $|nb|\geq|(m+1)||n|$ y $|am|\leq (|n|-1)|m|$ lo que implica claramente por la desigualdad del triángulo que:
$|am+nb|> |(m+1)||n|-(|n|-1)|m| > 1$ una contradicción.
user254665
Puntos
4075
Si $|m|=1$ dejar $a=1$ y $b=0.$
Si $|n|=1$ dejar $a=0$ y $b=1.$
Si $|m|\ne 1\ne |n|,$ tomar enteros $A$ satisfaciendo $1\leq A\leq |n|-1$ y $Am\equiv 1 \pmod n.$ Dejemos que $a=\min (A,|n|-A).$ Tenemos $$am\equiv\pm 1\pmod n$$ y $$|n/2|\geq |a|.$$ Así que $am+bn=\pm 1$ donde $b$ es un número entero . Ahora $$|nm/2|\geq |a|\cdot |m|=|am|=|-bn\pm 1|\geq |bn|-1 \implies$$ $$\implies |nm/2|\geq |bn|-1\implies $$ $$\implies |m/2|+1\geq |m/2|+|1/n|\geq |b|.$$ Por lo tanto, $$|a|+|b|\leq |n/2|+|m/2|+1<|n|+|m|$$ porque si $m,n$ son coprimas y $|m|\ne 1\ne |n|$ entonces $|n|+|m|\geq 5.$
