¿Qué pasó (si es que pasó algo) con la Homología de Intersección?

Question

A principios de los años 90, Gil Kalai me presentó una generalización muy interesante de la teoría de la homología llamada homología de intersección, que existía desde hacía unos 10 años, creo. Definida inicialmente por Goresky y MacPherson, se trata de una versión de la homología que coincide con la homología ordinaria en variedades, pero que también conserva propiedades cruciales como la dualidad de Poincare y la teoría de Hodge en (no) variedades singulares. La definición original era combinatoria, pero posteriormente se reinterpretó en términos de teoría de gavillas (¿gavillas perversas?).

Por aquel entonces, parecía una novedad apasionante. Tengo curiosidad por saber en qué punto se encuentra este campo hoy en día. ¿Sigue prosperando, o se ha fusionado con otra cosa, o simplemente se ha desvanecido?

Answer 1

La homología de intersección y la cohomología siguen existiendo, pero como tema sólo han cambiado sustancialmente de nombre. Forman parte de la teoría de las láminas perversas, que se utilizan ampliamente en el programa de Langlands, en los enfoques de la geometría algebraica para la categorización y en otros ámbitos de la geometría algebraica.

En la medida en que la homología de intersección estaba destinada a la topología, ha despertado un interés relativamente menor que en la geometría algebraica. Por un lado, ha habido una tendencia a alejarse del álgebra homológica en la topología geométrica. Por otro lado, las singularidades forman parte de la estructura de la homología de intersección. Las singularidades son más relevantes para la topología geométrica que para la topología algebraica en el sentido de la teoría de la homotopía. Tanto las singularidades como el álgebra homológica son aspectos importantes de la geometría algebraica.

Answer 2

La homología de intersección está viva en un gran número de formas. Es cierto que gran parte del trabajo se orientó hacia la geometría algebraica, la teoría de la representación y las construcciones categóricas, como las láminas perversas, a lo largo de los años 90, pero también sigue habiendo trabajo en los entornos más topológicos por parte de gente como yo, Cappell, Shaneson, Markus Banagl, Laurentiu Maxim y muchos otros. Al menos una parte de este trabajo se dedica a extender los invariantes clásicos de los colectores, como las clases características, de forma significativa a los espacios estratificados, como las variedades algebraicas, y hay mucho interés reciente (aunque lento) en averiguar cómo la homología de intersección podría vincularse a varias construcciones de topología algebraica. También hay formulaciones analíticas como la cohomología L^2 (iniciada por Cheeger), y mucho más.

He aquí algunas buenas referencias para iniciarse en la zona:

Libros: An Introduction to Intersection Homology, de Kirwan y Woolf (en su mayor parte se ocupa de informar al lector sobre las primeras y extravagantes aplicaciones a la geometría algebraica y a la teoría de la representación, pero, no obstante, es una gran visión general)

Intersection Cohomology de Borel, et.al. Es una gran introducción técnica seria al área y, en mi opinión, la fuente canónica para los fundamentos del tema)

Topological Invariants of Stratified Spaces por Markus Banagl (topológico pero sobre todo desde el punto de vista de la gavilla)

Para obtener una visión general del estado del arte de la homología de intersección y campos relacionados, estoy coeditando un volumen sobre Topología de espacios estratificados que se publicará en la serie MSRI. Lamentablemente, aún no ha salido a la luz, pero búsquelo pronto.

Documentos: Los documentos originales de Goresky y MacPherson son bastante buenos.

Topological invariance of intersection homology without sheaves, de Henry King, es una buena introducción a la versión singular de la teoría.

Y para un montón de artículos recientes, voy a enchufar descaradamente mi propio sitio web: http://faculty.tcu.edu/gfriedman/ y de Markus Banagl: http://www.mathi.uni-heidelberg.de/~banagl/

Y se pueden encontrar muchas más referencias desde estos lugares.

Answer 3

La homología de intersección encontró rápidamente aplicaciones en la teoría de la representación, empezando por las conjeturas de Kazhdan-Lusztig. Hoy en día, la teoría de las láminas perversas es una herramienta importante en la teoría de la representación geométrica.

Answer 4

Parece que hay gente pensando en ello. Escuché una conferencia de Sylvain Cappell hace unas semanas; habló de utilizar la (co)homología de intersección como parte de una generalización de las clases características a las variedades singulares.

Aquí hay un artículo reciente de Cappell-Maxim-Shaneson al que se refiere: "Invariantes de cohomología de intersección de variedades algebraicas complejas" .