Tomar subgrupos cíclicos parece prometedor para obtener identidades similares a las de Nijenhuis, y por eso he buscado productos de ${\Gamma\left(\dfrac{a^k }{N}\right)}/{\sqrt{2\pi}}$ con $k$ que se ejecuta en un rango determinado. El factor $\sqrt{2\pi}$ está motivada por el hecho de que
- en la fórmula de Nijenhuis, así como en la fórmula de multiplicación e incluso en la fórmula de reflexión, un factor $\sqrt{\pi}=\Gamma(\frac12)$ se produce con la misma multiplicidad que los factores gamma (por lo que mis productos pueden ser considerados de hecho como cocientes gamma "bien orientados"),
- sin incluir $\sqrt{2}$ Esos productos, siempre que sean enteros, tienen una valoración 2 relativamente grande (véase el factor $2^{b(A)}$ en la fórmula de Nijenhuis $$\prod_{x\in A}{\Gamma\left(\frac{x }{2n}\right)}=2^{b(A)} \sqrt{\pi}^{\,\nu(n)},$$ donde $A$ es el subgrupo del grupo multiplicativo $\mathbb Z_{2n}^*$ generado por $n + 2$ o cualquiera de sus cosets, $\nu(n)$ su orden y $b(A)$ el número de elementos en $A$ que son mayores que $n$ ).
En aras de la brevedad, definamos para los enteros coprimos $a, N$ $$g(a,N):=\prod_{k=1}^{ind_a(N)} \frac{\Gamma\left(\dfrac{a^k \pmod N}{N}\right)}{\sqrt{2\pi}}.$$ Así, el producto se toma sobre el subgrupo $\langle a\rangle$ de $\mathbb Z_N^*$ generado por $a$ con todos los argumentos de los factores gamma entre $0$ y $1$ . Para un número entero $b$ coprima a $N$ definiendo de forma similar el producto sobre el correspondiente coset $b\langle a\rangle=\langle a\rangle b$ como $$g_b(a,N):=\prod_{k=1}^{ind_a(N)} \frac{\Gamma\left(\dfrac{a^kb \pmod N}{N}\right)} {\sqrt{2\pi}}.$$
Con esta notación, la identidad inicial es $g(9,14)=\sqrt{2}$ y, además, tenemos la algo complementaria $g_3(9,14)=1/\sqrt{2}$ .
Una vez que se sabe dónde buscar (pedirle a un ordenador que lo haga), es fácil encontrar, en pocos minutos, decenas de esos productos que parecen numéricamente algebraicos.
He excluido los grupos autocomplementarios, es decir, los grupos para los que $\langle a\rangle=\langle N-a\rangle $ porque para esos, ya sabemos que $g(a,N)$ es algebraico por la fórmula de reflexión. Asimismo, he excluido los subgrupos cuyos miembros forman esencialmente una secuencia aritmética (más precisamente, un conjunto $\{\lambda s+t\}\cap \mathbb Z_N^*$ para un determinado $s,t$ ), ya que éstos pueden ser tratados por la fórmula de multiplicación y dan de nuevo productos algebraicos. Llamemos a los restantes subgrupos y a los productos gamma asociados no triviales.
Una búsqueda sistemática (con una precisión numérica razonablemente alta) muestra que de los productos gamma algebraicos no triviales, la mayoría son de la forma $q^{u/v}$ con números enteros $u,v$ . Generalmente, $u/v$ es positivo y $q$ un primo que divide $N$ . Pero hay excepciones como $g(24,203)=7^{-1/2}$ o $g(103,420)=(3^3\cdot5^3\cdot7)^{1/6}$ .
Para $n\le300$ Hay $106$ productos gamma algebraicos no triviales, $88$ de los cuales se puede escribir en forma $q^{u/v}$ . (Con $v=1$ para 36 de ellos). El $18$ restantes se producen para $N= 60,105,120,140,156,180,220,231,255,285,300$ (nótese que todos estos $N$ tienen al menos tres divisores primos) y tienen polinomios mínimos de grados $2,4,6$ o $8$ . Esto último es válido para todos los $N\le 1000$ .
Además hasta ahora todos ellos se pueden escribir con radicales, por ejemplo $g(103,105)=\sqrt[3]{3(1701+166\sqrt{105})}$ o $g(41,156)=2 \sqrt[4]{13}(2\sqrt{3}+\sqrt{13})$ o $g(83,120)=\sqrt{3(\sqrt{3}-1)(\sqrt{30}-5)}$ .
Algunas de estas identidades, como la de $g(83,120)$ se puede derivar utilizando las fórmulas estándar - véase Artículo de Vidunas Expresiones de los valores de la función gamma (así en la forma en que el OP pregunta junto al final). Pero dudo que esto sea posible cuando, por ejemplo $\sqrt{13}$ se produce.
Se pueden obtener más identidades similares tomando los cosets de los mismos grupos. No los he mirado sistemáticamente, pero conjeturalmente, si $g(a,N)$ es algebraico, también lo es $g_b(a,N)$ . Tenga en cuenta que, en general, $g_b(a,N)/g(a,N)$ no parece ser algebraico.
La distribución de los subgrupos no triviales parece ser al menos tan irregular como la distribución de los primos y ni siquiera está muy correlacionada con la estructura de $\mathbb Z_N^*$ .
