¿Cuándo son números algebraicos algunos productos de funciones gamma?

Question

Quiero saber cuándo ciertas expresiones de la forma

$ {\Gamma(r_1/m) \Gamma(r_2/m) \ldots \Gamma(r_j/m) \over \Gamma(s_1/m) \Gamma(s_2/m) \ldots \Gamma(s_j/m)} $

son números algebraicos. Estos cocientes de funciones Γ ocurren en la enumeración asintótica de ciertas clases de particiones restringidas, pero no creo que esto sea relevante. Además, en los problemas de partición que me interesan, es natural tener $r_1 + \ldots + r_j = s_1 + \ldots + s_j$ pero esto no es necesario. Esto parece ocurrir con cierta frecuencia. Por ejemplo, una nota de Albert Nijenhuis (arXiv:0907.1689) muestra que $\Gamma(1/14) \Gamma(9/14) \Gamma(11/14) = 4\pi^{3/2}$ las técnicas del mismo documento muestran que $\Gamma(3/14) \Gamma(5/14) \Gamma(13/14) = 2\pi^{3/2}$ por lo que el cociente es, de hecho, ¡2! Del mismo modo, podemos obtener la identidad

$ {\Gamma(1/8) \Gamma(5/8) \Gamma(6/8) \over \Gamma(2/8) \Gamma(3/8) \Gamma(7/8)} = \sqrt{2}$

aplicando la fórmula de la duplicación

$ \Gamma(z) \Gamma(z+1/2) = 2^{1-2z} \sqrt{\pi} \Gamma(2z) $

a los dos primeros factores del numerador y a los dos últimos del denominador. Al intentar demostrar otras identidades de este tipo, la fórmula de la duplicación, su generalización a la "fórmula de la multiplicación"

$\Gamma(z) \Gamma(z+1/k) \cdots \Gamma(z+(k-1)/k) = (2\pi)^{(k-1)/2} k^{1/2-kz} \Gamma(kz)$

y la fórmula de reflexión

$ \Gamma(z) \Gamma(1-z) = \pi \csc(\pi z)$

son las herramientas más obvias. Así que esto parece ser un problema de teoría combinatoria de números; dada una expresión de la forma en la primera ecuación mostrada, ¿cuándo podemos usar las fórmulas de multiplicación y reflexión para reducirla a una potencia racional de algún entero por un producto de funciones trigonométricas de múltiplos racionales de π?

Answer 1

Debería estar interesado cuando la solución para Mensualmente Se publica el problema 11426. Un avance (crédito a Albert Stadler):

$$ \frac{\Gamma(1/10)\Gamma(9/10)}{\Gamma(3/10)\Gamma(7/10)} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}, $$

$$\frac{\Gamma(1/26)\Gamma(3/26)\Gamma(9/26)\Gamma(17/26) \Gamma(23/26)\Gamma(25/26)}{\Gamma(5/26)\Gamma(7/26)\Gamma(11/26) \Gamma(15/26)\Gamma(19/26)\Gamma(21/26)} = \frac{11+3\sqrt{13}}{2}, $$

$$\frac{\Gamma(1/34)\Gamma(9/34)\Gamma(13/34) \Gamma(15/34)\Gamma(19/34)\Gamma(21/34) \Gamma(25/34)\Gamma(33/34)}{\Gamma(3/34)\Gamma(5/34) \Gamma(7/34)\Gamma(11/34)\Gamma(23/34) \Gamma(27/34)\Gamma(29/34)\Gamma(31/34)} = 1 . $$

Answer 2

Hay otras identidades que son relevantes, pero que se conocen menos sistemáticamente. Por ejemplo,

$$\Gamma \left(\frac{1}{7}\right) \Gamma \left(\frac{6}{7}\right)=\Gamma \left(\frac{3}{7}\right) \Gamma \left(\frac{4}{7}\right)+\Gamma \left(\frac{2}{7}\right) \Gamma \left(\frac{5}{7}\right).$$

Hay una generalización conocida de esto con 7 reemplazado por $2^k-1$ Ver mi artículo con Ron Graham:

• Ron Graham, Kevin O'Bryant, Un núcleo de Fourier discreto y la conjetura de Fraenkel sobre los mosaicos , Acta Arith. 118 (2005), no. 3, 283-304, doi: 10.4064/aa118-3-4 , arXiv: math/0407306 ,

...pero no se sabe si todos los casos de sumas cosecantes son cero.

Answer 3

Todo se explica aquí:

• MR0546622 Pierre Deligne, Valores de las funciones $L$ y periodos integrales , con un apéndice de N. Koblitz y A. Ogus. Proc. Sympos. Pure Math. XXXIII, Automorphic forms, representations and $L$ -(Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 2, pp. 313-346, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1979. enlace a la copia de la NIC

Answer 4

Rohrlich ha conjeturado que las relaciones multiplicativas en $\mathbb{C}^\times / \overline{\mathbb{Q}}^\times$ entre los valores de $\Gamma$ a los números racionales son generados por la fórmula de la multiplicación y la fórmula de la reflexión. En términos conceptuales, Lang dice que $\Gamma$ es una distribución puntuada impar en $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ y que, conjeturalmente, es universal, véase Relaciones de distribución y ejemplos clásicos El artículo de Deligne mencionado en Respuesta de Felipe Voloch y esta respuesta de MO . Para más detalles sobre las distribuciones, véase el libro de Kubert y Lang, Unidades modulares (Springer, 1981), capítulo 1.

Por otro lado, el primer polinomio de Bernoulli $B_1(x)=x-\frac12$ también da lugar a una distribución universal. Más concretamente, la función \begin{equation*} h_1 \colon x \mapsto \begin{cases} B_1(\{x\}) & \textrm{if } x \not\in \mathbb{Z} \\ 0 & \textrm{if } x \in \mathbb{Z}, \end{cases} \end{equation*} donde $\{x\}=x-\lfloor x \rfloor$ es la parte fraccionaria de $x$ es una distribución en $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ . Siguiendo la terminología de Kubert-Lang, el primera distribución Bernoulli en $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ es la distribución de Stickelberger asociada a $h_1$ . Toma valores en el límite directo de los anillos del grupo $\mathbb{Q}[(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times]$ . En cada nivel finito $N$ viene dada por \begin{align*} \mathbf{B}_1 \colon \bigl(\frac{1}{N}\mathbb{Z}\bigr)/\mathbb{Z} & \to \mathbb{Q}[(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times] \\ x & \mapsto \sum_{u \in (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times} h_1(ux) [u]. \end{align*} Lo bueno es que podemos demostrar que $\mathbf{B}_1$ es universal (entre las distribuciones puntuales de impar en $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ ). Esto se deduce de la no evanescencia de la Dirichlet $L$ -valores $L(\chi,1)$ con $\chi$ impar. Concretamente, esto significa que no hay más relaciones lineales que la distribución y la paridad.

Esto conduce a un criterio conjetural para un producto arbitrario de $\Gamma$ -valores \begin{equation*} \Gamma(x_1)^{n_1} \cdots \Gamma(x_r)^{n_r} \end{equation*} con $x_i \in \mathbb{Q} \backslash \mathbb{Z}$ y $n_i \in \mathbb{Z}$ para ser un número algebraico por una potencia de $\sqrt{\pi}$ . Es decir, sólo hay que comprobar si el divisor $X = \sum_{i=1}^r n_i [x_i]$ en $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ está en el núcleo de la primera distribución Bernoulli $\mathbf{B}_1$ .

Si lo es, entonces utilizando el álgebra lineal, podrás escribir $X$ como una combinación lineal de las relaciones de multiplicación y reflexión, porque $\mathbf{B}_1$ es universal. Por lo tanto, será capaz de calcular el $\Gamma$ producto como un número algebraico explícito por una potencia de $\sqrt{\pi}$ . Este número algebraico será un número ciclotómico por un producto de potencias fraccionarias de números primos.

Si se exceptúan las posibles simplificaciones de este número algebraico, todo esto puede convertirse en un algoritmo.

En el mismo artículo, Lang también se pregunta si las fórmulas de multiplicación y reflexión generan el ideal de polinomio relaciones entre $\Gamma$ -valores por encima de $\overline{\mathbb{Q}}(\sqrt{\pi})$ . Se podría intentar, de forma similar a la anterior, dar un criterio conjetural explícito para un polinomio dado en $\Gamma$ -valores para ser algebraico.

Answer 5

Como consecuencia de las fórmulas de reflexión de Euler y de multiplicación de Gauss, todos los valores $\Gamma(a)$ con $24a\in\mathbb{Z}$ o $60a\in\mathbb{Z}$ puede expresarse algebraicamente en términos de estos valores: $$ \Gamma\!\left(\frac12\right)=\sqrt{\pi},\quad \Gamma\!\left(\frac13\right), \quad \Gamma\!\left(\frac14\right), \quad \Gamma\!\left(\frac15\right), \quad \Gamma\!\left(\frac25\right), \quad \Gamma\!\left(\frac18\right), $$ $$ \Gamma\!\left(\frac1{15}\right),\quad \Gamma\!\left(\frac1{20}\right), \quad \Gamma\!\left(\frac1{24}\right), \quad \Gamma\!\left(\frac1{60}\right), \quad \Gamma\!\left(\frac7{60}\right). $$

Esto se resuelve en

• Raimundas VIDUNAS, Expresiones de los valores de la función Gamma Kyushu Journal of Mathematics, 2005, Volumen 59, Número 2 (2005) Páginas 267-283 https://doi.org/10.2206/kyushujm.59.267 , arXiv: math/0403510 ,

junto con expresiones básicas para $a\in(0,1)$ . Por ejemplo, $$ \Gamma\!\left(\frac7{10}\right)=\sqrt{\pi}\,2^{3/5}\,\Gamma\left(\frac15\right)^{\!-1}\,\Gamma\!\left(\frac2{5}\right), $$ $$ \Gamma\!\left(\frac1{12}\right)=\frac{3^{3/8}\,\sqrt{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{\pi}\,2^{1/4}}\,\Gamma\!\left(\frac13\right)\,\Gamma\!\left(\frac14\right), $$ $$ \Gamma\!\left(\frac{11}{15}\right)=2\pi\cdot 3^{3/10}\,\Gamma\!\left(\frac15\right)\,\Gamma\left(\frac25\right)^{\!-1}\,\Gamma\left(\frac1{15}\right)^{\!-1}, $$ $$ \Gamma\!\left(\frac{11}{20}\right)=2^{1/5}\,\sqrt{5+\sqrt5}\;\Gamma\!\left(\frac15\right)\,\Gamma\!\left(\frac25\right)\,\Gamma\left(\frac1{20}\right)^{\!-1}, $$ $$ \Gamma\!\left(\frac{49}{60}\right)=\frac{\sqrt{\pi}\,\sqrt3\,\sqrt{\sqrt3+1}\,\sqrt{5+\sqrt5}\,\sqrt{\sqrt5+\sqrt3}}{5^{1/24}}\,\Gamma\!\left(\frac13\right)\,\Gamma\!\left(\frac1{60}\right)^{\!-1}. $$ La independencia algebraica de los 11 valores "básicos" de la lista (y las respuestas más generales) están aún por resolver.