Sí, hay una codificación de operad $A_\infty$ -algebras si eso es lo que estás preguntando.
Una forma sencilla de verlo es que un $A_\infty$ -se define en términos de operaciones con un cierto número de entradas y una salida, y que en cada relación (por ejemplo $d(f_1(x)) = f(d(x))$ o $f_1(xy) - f_1(x) f_1(y) = df_2(x,y) \pm f_2(dx,y) \pm f_2(x,dy)$ ) cada variable aparece exactamente una vez en cada sumando. Así que simplemente se puede tomar la operada libre en las operaciones, y hacer el cociente por el ideal operádico generado por las relaciones; casi tautológicamente, esto dará una operada que codifica exactamente $A_\infty$ -algebras.
Pero esto no es terriblemente interesante, y supongo que lo que realmente quieres saber es de dónde viene esta operada. La operada $\mathtt{Ass}$ La codificación de las álgebras asociativas es cuadrática binaria (es generada por una operación binaria, y la relación definitoria es cuadrática). Es una operada de Koszul, por lo que la construcción cobar en su dual de Koszul $\Omega \mathtt{Ass}^¡$ es una "resolución cofibrante" de $\mathtt{Ass}$ . Resulta que $A_\infty = \Omega \mathtt{Ass}^¡$ . Si no estás familiarizado con estos términos, significa que existe un morfismo de operadas $\Omega \mathtt{Ass}^¡ \to \mathtt{Ass}$ que:
- Induce una equivalencia de Quillen entre la categoría de álgebras asociativas y la categoría de $A_\infty$ -algebras;
- A grandes rasgos, $A_\infty$ satisface el teorema de la transferencia de homotopía: si tienes un $A_\infty$ -Álgebra $A$ y un complejo de cadenas $X$ equivalente en homotopía a $A$ , entonces puedes hacer $X$ en un $A_\infty$ -Álgebra.
Morfismos (infinitos) de $A_\infty$ -son un poco más complicadas. Los morfismos simples de las álgebras sobre $\Omega \mathtt{Ass}^¡$ no son los morfismos descritos en el artículo que enlazaste; serían morfismos con sólo una parte lineal. Hay que fijarse más en la operada $A_\infty$ para encontrar lo que son.
La operada $A_\infty = \Omega \mathtt{Ass}^¡$ es la construcción cobar en la cooperada dual de Koszul $\mathtt{Ass}^¡$ . Resulta que $\mathtt{Ass}^¡$ es la codificación cooperativa de las álgebras asociativas desplazadas, $\mathscr{S}^{-1} \mathtt{Ass}^c$ . Esto a su vez significa que para dar $A$ un $A_\infty$ -estructura, hay que dar una codiferencial cuadrada de cero $d_A$ en la álgebra coasociada desplazada cofree $T^c(\Sigma A)$ . Entonces, dados dos de estos $A_\infty$ -algebras $(T^c(\Sigma A), d_A)$ y $(T^c(\Sigma B), d_B)$ un morfismo (infinito) de $A_\infty$ -es un morfismo de dg-coalgebras $(T^c(\Sigma A), d_A) \to (T^c(\Sigma B), d_B)$ .
Esperemos que todo esto te ayude a entender la operad $A_\infty$ mejor, y cómo se desarrollaría la historia si en lugar de álgebras asociativas de homotopía estuviéramos viendo álgebras de Lie de homotopía, álgebras conmutativas de homotopía... No sería demasiado razonable hacer una respuesta muy detallada en math.SE, así que te remito al excelente libro Operadas algebraicas de Loday y Vallette, sobre todo el capítulo 7 (pero probablemente haya que hojear al menos los seis primeros capítulos para entenderlo).
