Cuándo es Aut(G) abeliana

Question

Dejar $G$ sea un grupo tal que $\mathrm{Aut}(G)$ es abeliano. es entonces $G$ ¿Abelio?

Esta es una especie de generalización del conocido ejercicio, que $G$ es abeliano cuando $\mathrm{Aut}(G)$ es cíclico, pero no tengo ni idea de cómo responder en general. Al menos, los grupos abelianos finitamente generados $G$ tal que $\mathrm{Aut}(G)$ es abeliana puede ser clasificada.

Answer 1

De MathReviews:

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MR0367059 (51 #3301) Jonah, D.; Konvisser, M. Algunos no abelianos $p$ -con grupos de automorfismo abelianos. Arch. Math. (Basel) 26 (1975), 131--133.

Este documento expone, para cada primo $p$ , $p+1$ grupos no isomorfos de orden $p^8$ con grupo de automorfismo abeliano elemental de orden $p^{16}$ . Todos estos grupos tienen subgrupos elementales abelianos e isomorfos conmutadores y grupos cocientes conmutadores, y son nilpotentes de clase dos. Todos sus automorfismos son centrales. Con los métodos del revisor y de Liebeck también se podrían construir otros grupos de este tipo, pero los órdenes serían mucho mayores.

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Para tu información, he encontrado esto a través de una búsqueda en Google.

El primero en construir tal grupo (de orden $64 = 2^6$ ) fue G.A. Miller * en 1913. Si se conoce algo de este temprano teórico de grupos estadounidense (estudió grupos de orden 2, luego grupos de orden 3, luego... ¡y era bueno en ello, y escribió cientos de artículos!), esto no es tan sorprendente. He encontrado un buen tratamiento de los "grupos de Miller" en la sección 8 de

http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0602/0602282v3.pdf

(*): La página de la wikipedia parece un poco dura. Como muestra el presente ejemplo, era un tipo muy inteligente.

Answer 2

La respuesta es No . (Pete se me adelantó.)

El primer ejemplo parece estar en un artículo de 1913 de GA Miller Un grupo no abeliano cuyo grupo de isomorfismos es abeliano , Mensajero de las Matemáticas. 48 (1913) 124--125.

Answer 3

Dos observaciones adicionales:

1. Todo grupo cuyo grupo de automorfismo es abeliano debe tener clase de nilpotencia como máximo dos, porque el grupo de automorfismo interno, al ser un subgrupo del grupo de automorfismo, es abeliano.
2. Para grupos finitos, ser abeliano y que el grupo de automorfismo sea también abeliano implica ser cíclico. En el caso infinito, hay grupos localmente cíclicos que no son cíclicos, y éstos tienen grupos de automorfismo abelianos. Por ejemplo, el grupo aditivo de los números racionales tiene un grupo de automorfismo abeliano (el grupo multiplicativo de los números racionales).

Otras dos referencias (además de Miller y Jonah-Konvisser mencionadas anteriormente) para ejemplos de grupos de 2 con grupos de automorfismo abelianos:

1. Algunos grupos de 2 no abelianos con grupos de automorfismo abelianos de Rebecca Roth Struik, Archiv der Mathematik, ISSN 1420-8938 (Online), ISSN 0003-889X (Print), Volume 39,Number 4, Page 299 - 302(Year 1982); MathReviews Number: 0684397

2. Algunos nuevos grupos de 2 no abelianos con grupos de automorfismo abelianos por Ali-Reza Jamali Journal of Group Theory, ISSN 14435883 (print), ISSN 14434446 (online), Volume 5,Number 1, Page 53 - 57(Year 2002); MathReviews Number: 1879516

Tengo más notas sobre grupos cuyo grupo de automorfismo es abeliano aquí y aquí .

Answer 4

Ahora se publica un estudio detallado sobre este problema para grupos finitos y está disponible en https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-981-13-2047-7_7 . Una versión prepublicada está disponible en https://arxiv.org/abs/1708.00615 .

Recientemente se han realizado algunas actividades sobre este tema. No hay ejemplo de un finito no especial $p$ -que tiene un grupo de automorfismo abeliano era conocido hasta hace poco. Una clase de tales grupos se construye en "V. K. Jain, M. K. Yadav, On finite p-groups whose automorphisms are all central, Israel J. Math. 189 (2012), 225 - 236." Este trabajo también contiene un rápido estudio de resultados sobre el tema y una gran bibliografía. Algunos ejemplos más, de distinto tipo, están disponibles en http://arxiv.org/pdf/1304.1974.pdf