Intersección de todos los subgrupos abiertos frente a la intersección de todos los subgrupos normales abiertos

Question

Estoy interesado en conocer ejemplos de grupos topológicos $G$ para el que la intersección $\bigcap\{H\leq G\mid H\text{ open}\}$ de todos los subgrupos abiertos de $G$ es el subgrupo trivial pero para el que la intersección $\bigcap\{N\trianglelefteq G\mid N\text{ open}\}$ de todos los abiertos normal subgrupos no es el subgrupo trivial.

Claramente (1) debe ser totalmente desconectado (2) no puede inyectarse en un grupo pro-discreto por un homomorfismo continuo y (3) no puede contener un subgrupo topológico isomorfo a $\mathbb{Q}$ . Imagino que existen grupos topológicos que se ajustan a esta descripción y quizá algunos sean incluso importantes en algún ámbito que desconozco.

¿Existe tal grupo topológico? En caso afirmativo, ¿existen abundantes ejemplos "estándar"?

Answer 1

$S_\infty$ el grupo de todas las permutaciones de $\mathbb{N}$ , tiene una base de vecindad de la identidad de los subgrupos abiertos. (De hecho, un grupo polaco con esa propiedad es isomorfo a un subgrupo cerrado de $S_\infty$ ).

Pero sin pensar en cuáles son exactamente las que están abiertas, $S_\infty$ tiene una oferta muy limitada de subgrupos normales que se describen aquí: https://math.stackexchange.com/a/166472/29633

Answer 2

Hay ejemplos extremos de este comportamiento, a saber, los grupos no arquimédicos (lo que significa que tienen una base en la identidad que consiste en subgrupos abiertos) los grupos polacos que son simples como grupos abstractos (lo que significa que no tienen ningún subgrupo normal en absoluto en lugar de sólo ninguno cerrado).

En primer lugar, abundan los grupos polacos no arquimédicos: grupos de la forma $\mathrm{Aut}(M)$ para una estructura homogénea contable $M$ son polacos, siendo isomorfos a un subgrupo cerrado de $S_\infty$ y no arquimédico, teniendo una base en la identidad que consiste en automorfismos que estabilizan puntualmente conjuntos finitos (de hecho como la otra respuesta menciona esto es un iff).

Se sabe que muchos de estos grupos son simples, el primer ejemplo históricamente es probablemente el grupo de automorfismo del grafo aleatorio, demostrado como simple por Truss, pero se puede consultar el artículo de 2011 de Macpherson-Tent para ver muchos ejemplos, observaciones históricas y resultados generales sobre la simplicidad de tales grupos.