Estoy tratando de entender por qué no existe ningún barrio $U \supset \{\frac{1}{n}\}_{n \in \mathbb{N}} \cup \{0\}$ tal que $\{\frac{1}{n}\}_{n \in \mathbb{N}} \cup \{0\}$ es un repliegue (no necesariamente un $\textit{deformation}$ retractarse, como se ha publicado aquí - aunque tampoco entiendo el argumento que se da ahí: ¿por qué "Pero $U_0$ contiene infinitos puntos de $X$ sobre la que debe retraerse la deformación" una contradicción) de $U$ . Ahora bien, si existiera tal retracto, entonces por definición existiría una vecindad $U \supset \{\frac{1}{n}\}_{n \in \mathbb{N}} \cup \{0\}$ y una función continua $g: U \to \{\frac{1}{n}\}_{n \in \mathbb{N}} \cup \{0\} \doteq V$ tal que $g|_{V} = \operatorname{Id}_V$ . Intuitivamente sé que tal función no puede ser continua en $0$ y por lo tanto no hay tal vecindad, pero no he podido probar esto. ¿Puede alguien ayudarme? Se lo agradecería.
Respuesta
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$U$ está abierto y contiene $0$ por lo que contiene algún intervalo abierto $(-a,a)$ con $a>0$ . Escoge $n>\frac1a$ . Entonces $I:=[\frac1{n+1},\frac1n]\subset (-a,a)\subseteq U$ . Desde $g(\frac1{n+1})=\frac1{n+1}$ y $g(\frac1n)=\frac1n$ se deduce por el Teorema del Valor Intermedio (ver $g$ como una función $I\to\Bbb R$ ) que $g(\xi)=\frac{\frac1{n+1}+\frac1n}{2}$ para algunos $\xi\in I$ pero $\frac{\frac1{n+1}+\frac1n}{2}\notin V$ .
